Урок "Функция y=sinx, ее свойства и график". График функции y = sin x Построение графика функции y sinx

На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график

При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента поставить в соответствие единственное значение функции. Этот закон соответствия и называется функцией.

Определим закон соответствия для .

Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).

Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Из определения синуса вытекают очевидные свойства.

На рисунке видно, что т.к. это ордината точки единичной окружности.

Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент - это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.

Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)

Мы получили график функции на участке Но зная период синуса мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).

Основным периодом функции является Это значит, что график можно получить на отрезке а затем продолжить на всю область определения.

Рассмотрим свойства функции :

1) Область определения:

2) Область значений:

3) Функция нечетная:

4) Наименьший положительный период:

5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:

6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:

7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:

8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:

9) Промежутки возрастания:

10) Промежутки убывания:

11) Точки минимума:

12) Минимум функции:

13) Точки максимума:

14) Максимум функции:

Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.

А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().

Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке .

Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради. На оси Oy отмечаем единицу.

Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.

На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.

При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.

Составим таблицу значений синуса на промежутке :

Полученные точки отметим на координатной плоскости:

Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:

Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.

На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график

При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента поставить в соответствие единственное значение функции. Этот закон соответствия и называется функцией.

Определим закон соответствия для .

Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).

Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Из определения синуса вытекают очевидные свойства.

На рисунке видно, что т.к. это ордината точки единичной окружности.

Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент - это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.

Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)

Мы получили график функции на участке Но зная период синуса мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).

Основным периодом функции является Это значит, что график можно получить на отрезке а затем продолжить на всю область определения.

Рассмотрим свойства функции :

1) Область определения:

2) Область значений:

3) Функция нечетная:

4) Наименьший положительный период:

5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:

6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:

7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:

8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:

9) Промежутки возрастания:

10) Промежутки убывания:

11) Точки минимума:

12) Минимум функции:

13) Точки максимума:

14) Максимум функции:

Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.

А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().

Функция y = sin x

Графиком функции является синусоида.

Полную неповторяющуюся часть синусоиды называют волной синусоиды.

Половину волны синусоиды называют полуволной синусоиды (или аркой).

Свойства функции y = sin x :

Для построения графика функции y = sin x удобно применять следующие масштабы:

На листе в клетку за единицу отрезка примем длину в две клетки.

На оси x отмерим длину π. При этом для удобства 3,14 представим в виде 3 – то есть без дроби. Тогда на листе в клетку π составит 6 клеток (трижды по 2 клетки). А каждая клетка получит свое закономерное имя (от первой до шестой): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это значения x .

На оси y отметим 1, включающий две клетки.

Составим таблицу значений функции, применяя наши значения x :

Далее составим график. Получится полуволна, наивысшая точка которой (π/2; 1). Это график функции y = sin x на отрезке . Добавим к построенному графику симметричную полуволну (симметричную относительно начала координат, то есть на отрезке -π). Гребень этой полуволны – под осью x с координатами (-1; -1). В результате получится волна. Это график функции y = sin x на отрезке [-π; π].

Можно продолжить волну, построив ее и на отрезке [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] и т.д. На всех этих отрезках график функции будет выглядеть так же, как на отрезке [-π; π]. Получится непрерывная волнистая линия с одинаковыми волнами.

Функция y = cos x .

Графиком функции является синусоида (ее иногда называют косинусоидой).

Свойства функции y = cos x :

Функция y = mf (x ).

Возьмем предыдущую функцию y = cos x . Как вы уже знаете, ее графиком является синусоида. Если мы умножим косинус этой функции на определенное число m, то волна растянется от оси x (либо сожмется, в зависимости от величины m).
Эта новая волна и будет графиком функции y = mf(x), где m – любое действительное число.

Таким образом, функция y = mf(x) – это привычная нам функция y = f(x), умноженная на m.

Если m < 1, то синусоида сжимается к оси x на коэффициент m. Если m > 1, то синусоида растягивается от оси x на коэффициент m.

Выполняя растяжение или сжатие, можно сначала построить лишь одну полуволну синусоиды, а затем уже достроить весь график.

Функция y = f (kx ).

Если функция y = mf (x ) приводит к растяжению синусоиды от оси x либо сжатию к оси x , то функция y = f(kx) приводит к растяжению от оси y либо сжатию к оси y .

Причем k – любое действительное число.

При 0 < k < 1 синусоида растягивается от оси y на коэффициент k. Если k > 1, то синусоида сжимается к оси y на коэффициент k.

Составляя график этой функции, можно сначала построить одну полуволну синусоиды, а по ней достроить затем весь график.

Функция y = tg x .

Графиком функции y = tg x является тангенсоида.

Достаточно построить часть графика на промежутке от 0 до π/2, а затем можно симметрично продолжить ее на промежутке от 0 до 3π/2.

Свойства функции y = tg x :

Функция y = ctg x

Графиком функции y = ctg x также является тангенсоида (ее иногда называют котангенсоидой).

Свойства функции y = ctg x :

Видеоурок «Функция y = sinx, ee свойства и график» представляет наглядный материал по данной теме, а также комментарии к нему. В ходе демонстрации рассматривается вид функции, ее свойства, подробно расписывается поведение на различных отрезках координатной плоскости, особенности графика, описывается пример графического решения тригонометрических уравнений, содержащих синус. С помощью видеоурока учителю легче сформировать понятие у ученика о данной функции, научить решать задачи графическим способом.

В видеоуроке применяются средства, с помощью которых облегчается запоминание и понимание учебной информации. В представлении графиков и при описании решении задач используются анимационные эффекты, которые помогают понять поведение функции, представить ход решения последовательно. Также озвучивание материала дополняет его важными комментариями, которые заменяют объяснение учителя. Таким образом, данный материал может применяться и как наглядное пособие. И в качестве самостоятельной части урока вместо объяснения учителя по новой теме.

Демонстрация начинается с представления темы урока. Представляется функция синус, описание которой выделено в рамку для запоминания - s=sint, в которой аргумент tможет быть любым действительным числом. Описание свойств данной функции начинается с области определения. Отмечается, что областью определения функции является вся числовая ось действительных чисел, то есть D(f)=(- ∞;+∞). В качестве второго свойства выделяется нечетность функции синуса. Ученикам напоминается, что данное свойство изучалось в 9 классе, когда отмечалось, что для нечетной функции выполняется равенство f(-x)=-f(x). Для синуса подтверждение нечетности функции демонстрируется на единичной окружности, разбитой на четверти. Зная, какой знак принимает функция в разных четвертях координатной плоскости, отмечается, что для аргументов с противоположными знаками на примере точек L(t) и N(-t) для синуса выполняется условие нечетности. Поэтому s=sint - нечетная функция. Это означает симметричность графика функции относительно начала координат.

Третье свойство синуса демонстрирует промежутки возрастания и убывания функции. В нем отмечается, что на отрезке данная функция возрастает, на отрезке [π/2;π] убывает. Свойство демонстрируется на рисунке, на котором изображена единичная окружность и при движении от точки А против часовой стрелки ордината растет, то есть возрастает значение функции до π/2. При движении от точки В до С, то есть при изменении угла от π/2 до π значение ординаты уменьшается. В третьей четверти окружности при движении от точки С до точки Dордината убывает от 0 до -1, то есть значение синуса убывает. В последней четверти при движении от точки Dдо точки А значение ординаты возрастает от -1 до 0. Таким образом можно сделать общий вывод о поведении функции. На экране отображается вывод, что sint возрастает на отрезке [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], убывает на отрезке [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] для любого целого k.

Четвертое свойство синуса рассматривает ограниченность функции. Отмечается, что функция sint является ограниченной и сверху, и снизу. Ученикам напоминается сведения из алгебры 9 класса, когда они познакомились с понятием ограниченности функции. На экран выводится условие ограниченной сверху функции, для которой существует некоторое число, для которого выполняется неравенство f(x)>=М в любой точке функции. Также напоминается условие ограниченной снизу функции, для которой существует число m, меньшее каждой точки функции. Для sint выполняется условие -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

В пятом свойстве рассматривается наименьшее и наибольшее значения функции. Отмечается достижение наименьшего значения -1 в каждой точке t=-(π/2)+2πk, а наибольшего - в точках t=(π/2)+2πk.

На основе рассмотренных свойств производится построение графика функции sint на отрезке . Для построения функции используются табличные значения синуса соответствующих точках. На координатной плоскости отмечаются координаты точек π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Отметив табличные значения функции в данных точках и соединив их плавной линией, строим график.

Для построения графика функции sint на отрезке [-π;π] используется свойство симметрии функции относительно начала координат. На рисунке видно, как полученная в результате построения линия плавно переносится симметрично относительно начала координат на отрезок [-π;0].

Используя свойство функции sint, выраженное в формуле приведения sin(х+2π)= sin х, отмечается, что через каждые 2π график синуса повторяется. Таким образом, на отрезке [π; 3π] график будет такой же, как на [-π;π]. Таким образом, график данной функции представляет собой повторяющиеся фрагменты [-π;π] на всей области определения. Отдельно отмечено, что такой график функции называется синусоидой. Также вводится понятие волны синусоиды - фрагмента графика, построенного на отрезке [-π;π], и арки синусоиды, построенной на отрезке . Данные фрагменты еще раз демонстрируются для запоминания.

Отмечается, что функция sint является непрерывной функцией на всей области определения, а также, что область значений функции заключается в множестве значений отрезка [-1;1].

В конце видеоурока рассматривается графическое решение уравнения sin х=х+π. Очевидно, что графическим решением уравнения будет пересечение графика функции, данной выражением в левой части и функции, данной выражением в правой части. Для решения задачи строится координатная плоскость, на которой очерчивается соответствующая синусоида у=sin х, а также строится прямая, соответствующая графику функции у=х+π. Построенные графики пересекаются в единственной точке В(-π;0). Поэтому х=-π и будет решением уравнения.

Видеоурок «Функция y = sinx, ee свойства и график» поможет повысить эффективность урока традиционного урока математики в школе. Также использовать наглядный материал можно при выполнении дистанционного обучения. Пособие может помочь освоить тему ученикам, которым требуются дополнительные занятия для более глубокого понимания материала.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Тема нашего занятия «Функция у = sin x, ее свойства и график».

Ранее мы уже познакомились с функцией s = sin t, где tϵR (эс равно синус тэ, где тэ принадлежит множеству действительных чисел). Изучим свойства этой функции:

СВОЙСИВО 1.Область определения - множество действительных чисел R (эр), то есть D(f) = (- ; +) (дэ от эф представляет промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности).

СВОЙСТВО 2. Функция s = sin t является нечетной.

На уроках в 9 классе мы изучили, что функция у = f (x), х ϵХ (игрек равно эф от икс, где икс принадлежит множеству икс большое) называется нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство

f (- x) = - f (x)(эф от минус икс равно минус эф от икс).

А так как ординаты у симметричных относительно оси абсцисс точек L и N противоположны, то sin(- t) = -sint.

То есть s = sin t - нечетная функция и график функции s = sin t симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOs (тэ о эс).

Рассмотрим СВОЙСТВО 3. На отрезке [ 0; ] (от нуля до пи на два) функция s = sin t возрастает, а убывает на отрезке [; ](от пи на два до пи).

Это хорошо видно по рисункам: при движении точки по числовой окружности от нуля до пи на два (от точки А до В)ордината постепенно увеличивается от 0 до 1, а при движении от пи на два до пи (от точки В до С) ордината постепенно уменьшается от 1 до 0.

При движении точки по третьей четверти (от точки С до точки D) ордината движущейся точки уменьшается от нуля до минус единицы, а при движении по четвертой четверти -- ордината увеличивается от минус единицы до нуля. Поэтому можно сделать общий вывод: функция s = sin t возрастает на отрезке

(от минус пи на два плюс два пи ка до пи на два плюс два пи ка), а убывает на отрезке [; (от пи на два плюс два пи ка до трех пи на два плюс два пи ка), где

(ка принадлежит множеству целых чисел).

СВОЙСТВО 4. Функция s = sin t ограничена сверху и снизу.

Из курса 9 класса вспомним определение ограниченности: функция у = f (x) называется ограниченной снизу, если все значения функции не меньше какого-то числа m m такое, что для любого значения х из области определения функции выполняется неравенство f (x) ≥ m (эф от икс больше либо равно эм). Функция у = f (x) называется ограниченной сверху, если все значения функции не больше какого-то числа М , это значит, что существует число М такое, что для любого значения х из области определения функции выполняется неравенство f (x) ≤ М (эф от икс меньше либо равно эм).Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

Вернемся к нашей функции: ограниченность следует из того, что для любого тэ верно неравенство - 1 ≤ sint≤ 1.(синус тэ больше либо равно минус единице, но меньше либо равно единице).

СВОЙСТВО 5. Наименьшее значение функции равно минус одному и функция достигает этого значения в любой точке вида t = (тэ равно минус пи на два плюс два пи ка, а наибольшее значение функции равно одному и достигается функцией в любой точке вида t = (тэ равно пи на два плюс два пи ка).

Наибольшее и наименьшее значение функции s = sin t обозначают s наим. и s наиб. .

Используя полученные свойства, построим график функции у = sin х (игрек равно синус икс), потому что нам привычнее запись у = f (x) , а не s = f (t).

Для начала выберем масштаб: по оси ординат единичный отрезок возьмем две клетки, а по оси абсцисс две клетки - это пи на три (т.к. ≈ 1). Сначала Построим график функции у = sin х на отрезке . Нам нужна таблица значений функции на этом отрезке, для её построения воспользуемся таблицей значений для соответствующих углов косинуса и синуса:

Таким образом, чтобы построить таблицу значений аргумента и функции необходимо помнить, что х (икс) это число соответственно равное углу на промежутке от нуля до пи , а у (игрек)значение синуса этого угла.

Отметим эти точки на координатной плоскости. Согласно СВОЙСТВУ 3 на отрезке

[ 0; ] (от нуля до пи на два) функция у = sin х возрастает, а убывает на отрезке [; ](от пи на два до пи) и соединив плавной линией полученные точки, получим часть графика.(рис.1)

Используя симметрию графика нечетной функции относительно начала отсчета, получим график функции у = sin х уже на отрезке

[-π; π ] (от минус пи до пи).(рис. 2)

Вспомним, что sin(x + 2π)= sinx

(синус от икс плюс два пи равен синусу икс). Это значит, что в точке x + 2π функция у = sin х принимает то же значение, что и в точке х. А так как (x + 2π)ϵ [π; 3π ](икс плюс два пи принадлежит отрезку от пи до трех пи), если хϵ[-π; π ], то на отрезке[π; 3π ] график функции выглядит точно так же, как и на отрезке [-π; π ]. Аналогично, на отрезках , , [-3π; -π ] и так далее график функции у = sin х выглядит так же, как на отрезке

[-π; π ].(рис.3)

Линию, которая является графиком функции у = sin х, называют синусоидой. Часть синусоиды, изображенной на рисунке 2, называют волной синусоиды, а на рисунке 1 называют аркой синусоиды или полуволной.

Используя построенный график, запишем еще несколько свойств данной функции.

СВОЙСТВО 6. Функция у = sin х является непрерывной функцией. Это значит, что график функции сплошной, то есть не имеет скачков и проколов.

СВОЙСТВО 7. Областью значений функции у = sin х является отрезок [-1; 1] (от минус единицы до единицы) или это можно записать так: (е от эф равно отрезку от минус единицы до единицы).

Рассмотрим ПРИМЕР. Решить графически уравнение sin х = х + π(синус икс равно икс плюс пи).

Решение. Построим графики функций у = sin х и у = х + π .

Графиком функции у = sin х является синусоида.

у = х + π - это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через точки с координатами (0; π) и (- π ; 0) .

Построенные графики имеют одну точку пересечения - точку В(- π;0) (бэ с координатами минус пи, ноль). Это значит, что у данного уравнения только один корень - абсцисса точки В - -π. Ответ: х = - π.