Вычислить пределы функций применяя правило лопиталя. Правила Лопиталя
Инструкция
Непосредственное вычисление пределов связано, в первую очередь, с пределами рациональных Qm(x)/Rn(x), где Q и R многочлены. Если вычисляется предел при х →a (a – число), то может возникнуть неопределенность, например . Для ее устранения поделите числитель и знаменатель на (х-а). Операцию повторяйте до тех пор, пока неопределенность не пропадет. Деление многочленов осуществляется практически так же, как и деление чисел. Оно основано на том, что деление и умножение – обратные операции. Пример приведен на рис. 1.
Применение первого замечательного предела. Формула для первого замечательного предела приведена на рис. 2а. Для его применения приведите выражение вашего примера к соответствующему виду. Это всегда можно сделать чисто алгебраически или заменой переменной. Главное - не забывайте, что если синус от kx, то и знаменатель тоже kx. Пример рассмотрен на рис. 2e.Кроме того, если учесть, что tgx=sinx/cosx, cos0=1, то, как следствие, появляется (см. рис. 2b). arcsin(sinx)=x и arctg(tgx)=x. Поэтому имеются еще два следствия (рис 2с. и 2d). Возник еще достаточно широкий набор способов .
Применение второго замечательно предела (см. рис. 3а)Пределы такого типа используются для устранения типа . Для решения соответствующих задач просто преобразуйте условие до структуры, соответствующей виду предела. Помните, что при возведении в степень выражения, уже находящегося в какой-либо степени, их перемножаются. Соответствующий приведен на рис. 2е.Примените подстановку α=1/х и получите следствие из второго замечательного предела (рис. 2b). Прологарифмировав по основанию а обе части этого следствия, придете ко второму следствию, в и при а=е (см. рис. 2с). Сделаете замену а^x-1=y. Тогда x=log(a)(1+y). При стремлении х к нулю, у также стремится к нулю. Поэтому возникает и третье следствие (см. рис. 2d).
Применение эквивалентных бесконечно малых.Бесконечно малые функции эквивалентны при х →а, если предел их отношения α(х)/γ(х) равен единице. При вычислении пределов с помощью таких бесконечно малых просто запишите γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – это бесконечно малая более высокого порядка малости, чем α(x). Для нее lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для выяснения эквивалентности используйте те же замечательные пределы . Метод позволяет существенно упростить процесс , сделав его более прозрачным.
Источники:
- Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 1996. - 496 с.: ил.
Функция является одним из фундаментальных математических понятий. Ее предел – это такое значение, при котором аргумент стремится к определ енной величине. Вычислить его можно, используя некоторые приемы, например, правило Бернулли-Лопиталя.
Инструкция
Чтобы вычислить предел в заданной точке x0, следует подставить это значение аргумента в выражение функции, стоящее под знаком lim. Вовсе не обязательно, чтобы эта принадлежала области определ ения функции. Если предел определ ен и равен однозначному числу, то говорят, что функция сходится. Если же он не может быть определ ен, или бесконечен в конкретной точке, то расхождение.
Решение.Подставьте в выражение значение х = -2:lim (х² – 6 х - 14)/(2 х² + 3 х - 6) = -1/2.
Не всегда решение является настолько очевидным и простым, особенно если выражение слишком громоздкое. В этом случае сначала следует упростить его сокращения, группировки или замены переменной:lim_(х→-8) (10 х - 1)/(2 х + ∛x) = [у= ∛x] = lim_(у→-2) (10 у³ - 1)/(2 у³ + у) = 9/2.
Часто ситуации невозможности определ ения предел а, особенно если аргумент стремится к бесконечности или нулю. Подстановка не приносит ожидаемого результата, приводя к неопредел енности вида или [∞/∞]. Тогда применимо Лопиталя-Бернулли, которое предполагает нахождение первой производной. Например, вычислите предел lim (х² – 5 х -14)/(2 х²+ х - 6) при х→-2.
Решение.lim (х² – 5 х -14)/(2 х² + х - 6) = .
Найдите производную:lim (2 х - 5)/(4 х + 1) = 9/7.
lim (sinx/x) = 1 при x → 0, верно и обратное: lim (x/sinx) = 1; x → 0.Аргумент может быть любой конструкцией, главное, чтобы ее значение стремилось к нулю:lim (x³ – 5 x² + x)/sin(x³ – 5 x² + x) = 1; x → 0.
Видео по теме
Теория пределов – довольно обширная область математического анализа. Это понятие применимо к функции и представляет собой конструкцию из трех элементов: обозначение lim, выражение под знаком предела и предельное значение аргумента.
Инструкция
Чтобы вычислить предел, необходимо , чему равна функция в точке, соответствующей предельному значению аргумента. В некоторых случаях не имеет конечного решения, а подстановка значения, к которому стремится переменная, дает вида «ноль на ноль» или «бесконечность на бесконечность». В этом случае применимо , выведенное Бернулли и Лопиталем, которое подразумевает взятие первой производной.
Как и любое математическое , предел может содержать под своим знаком выражение функции, слишком громоздкое или неудобное для простой подстановки. Тогда необходимо прежде упростить его, пользуясь обычными методами, группировка, вынесение общего множителя и замена переменной, при которой меняется и предельное значение аргумента.
Вам повезло, выражение функции имеет смысл при данном предельном значении аргумента. Это простейший случай вычисления предела. Теперь решите следующую задачу, в которой фигурирует неоднозначное понятие бесконечности:lim_(x→∞) (5 - x).
Правило Бернулли-Лопиталя:lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 х²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = .Продифференцируйте выражение функции:lim (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 - 8) = 8.
Замена переменной:lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/(125 + 5) = 27/26.
Греческой буквой π (пи, pi) принято обозначать отношение длины окружности к ее диаметру. Это число , первоначально появившись в трудах древних геометров, впоследствии оказалось очень важным в очень многих отраслях математики. А значит, его нужно уметь вычислять.
Инструкция
π - иррациональное число . Это , что его невозможно представить в виде дроби с целым и знаменателем. Более того, π - трансцендентное число , то есть оно не может служить никакого алгебраического уравнения. Таким образом, точное значение числа π записать невозможно. Однако есть методы, позволяющие вычислить его с любой требующейся степенью точности.
Древнейшие , которыми пользовались геометры Греции и Египта, говорят, что π примерно равно квадратному корню из 10 или дроби 256/81. Но эти формулы дают значение π, равное 3,16, а этого явно недостаточно.
С развитием дифференциального исчисления и других новых математических дисциплин в распоряжении ученых появился новый инструмент - степенные ряды. Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1674 году обнаружил, что ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
в пределе сходится , равной π/4. Вычислять эту сумму просто, однако, чтобы достичь достаточной точности, понадобится много шагов, поскольку ряд сходится очень медленно.
Впоследствии были обнаружены и другие степенные ряды, позволяющие вычислять π быстрее, чем при помощи ряда Лейбница. Например, известно, что tg(π/6) = 1/√3, следовательно, arctg(1/√3) = π/6.
Функция арктангенса раскладывается в степенной ряд, и для заданного значения мы в результате получаем:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
При помощи этой и других аналогичных формул число
π было вычислено уже с точностью до миллионов знаков после запятой.
Обратите внимание
Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади. double y=radius*radius-x*x; return y; } Программа выводит значения числа Пи в зависимости от радиуса и количества точек. Единственное, что остается читателю, это скомпилировать её самостоятельно и запустить с параметрами, которые желает он.
Но неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений). Ученые Токийского университета сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака.
Источники:
- История числа Пи
Математические методы применяются во многих областях науки. Это утверждение касается, в частности, дифференциального исчисления. Например, если вычислить вторую производную функции расстояния от переменной времени, то можно найти ускорение материальной точки.
Инструкция
Правила и методы дифференцирования сохраняются для производных высших порядков. Это касается некоторых элементарных функций, операций сложения, и деления, а также сложных функций вида u(g(х)): u’ = С’ = 0 – производная константы; u’ = х’ = 1 – простейшая одного аргумента; u’ = (х^а)’ = а х^(а-1); u’ = (а^х)’ = а^х ln а – показательная функция;
Арифметические операции пары функций u(х) и g(х): (u + g)’ = u’ + g’; (u g)’ = u’ g + g’ u; (u/g)’ = (u’ g – g’ u)/g².
Довольно трудно вторую производную сложной функции. Для этого методы численного дифференцирования, хотя результат получается приближенным, присутствует так называемая погрешность аппроксимации α:u’’(х) = (u(х + h) – 2 u(х) + u(х - h))/h² + α(h²) – интерполяционный многочлен Ньютона;u’’(х) = (-u(х + 2 h) + 16 u(х + h) – 30 u(х) + 16 u(х - h) – u(х – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Стрилинга.
В этих формулах присутствует некая величин h. Она называется аппроксимации, выбор которого должен быть оптимальным, чтобы минимизировать погрешность вычисления. Подбор правильного значения h называется регуляцией по шагу:|u(х + h) – u(х)| > ε, где ε бесконечно мало.
Метод вычисления второй производной применяется при полного дифференциала второго порядка. При этом она частным образом рассчитывается для каждого аргумента и участвует в конечном выражении в виде множителя соответствующего дифференциала dх, dy и т.д.:d² u = ∂u’/∂х d²х + ∂u’/∂y d²у + ∂u’/∂z d²z.
Пример: найдите вторую производную функции u = 2 х sin х – 7 х³ + х^5/tg х.
Решениеu’ = 2 sin x + 2 х соs х – 21 х² + 5 х^4/tg х – х²/sin² х;u’’ = 4 соs х – 2 х sin х – 42 х + 20 х³/tg х – 5 х^4/sin² х – 2 х/sin² х + 2 х² соs х/sin³ х.
Методы дифференциального исчисления используются при исследовании характера поведения функции в математическом анализе. Однако это не единственная сфера их применения, часто требуется найти производную , чтобы рассчитать предельные величины в экономике, вычислить скорость или ускорение в физике.
Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису - . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи - вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.
Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является сайт.
Зависимости координат от времени при движении материальной точки в плоскости
Определить модуль скорость (
А. Модуль скорости материальной точки от времени выражается по формуле:
Б. . Модуль ускорения материальной точки от времени выражается по формуле:
Данные уравнения описывают движение материальной точки с постоянным ускорением
Спутник вращается вокруг земли по круговой орбите на высоте
На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяжести
Эту формулу можно упростить следующим образом. На тело массой
Таким образом, линейная скорость спутника равна
а угловая скорость
Рассматриваемые в задаче оба шара образуют замкнутую систему и в случае упругого удара и импульс системы, и механическая (кинетическая) энергия сохраняется. Запишем оба закона сохранения (с учётом неподвижности второго шара до удара):
Таким образом, налетающий (первый) шар в результате удара уменьшил свою скорость с 1,05 м/с до 0,45 м/с, хотя и продолжил движение в прежнем направлении, а ранее неподвижный (второй) шар приобрёл скорость, равную 1,5 м/с и теперь оба шара движутся по одной прямой, и в одном направлении.
Так как масса газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать ни законом Бойля-Мариотта, ни законом Шарля.равнением газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать законом Бойля-Мариотт Нужно для каждого состояния записать уравнение Менделеева-Клапейрона
Как найти предел функции не пользуясь правилом лопиталя
Версия системы:
7.47 (16.04.2018)
Общие новости:
13.04.2018, 10:33
Последний вопрос:
26.07.2018, 15:23
Последний ответ:
27.07.2018, 13:48
РАЗДЕЛ Математика
Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.
Лучшие эксперты в этом разделе
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Найти предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя
lim (2x+3) [ ln (x+2) — ln x ] (под lim записано «икс стремится к бесконечности»)
В задании было несколько примеров на пределы, но этот поставил в тупик. Не знаю, каким методом его решать. Может, каким-то образом использовать второй замечательный предел, но как (только эта мысль приходит на ум)?
Разрешите в этом же вопросе просто спросить, имеет ли место такая постановка задачи (если имеет, размещу потом как платный вопрос): Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции, вычислить значение с точностью до 0,001; а = 0,29.
Здесь я не пойму, к какой функции? Она не задана(?), задание звучит именно так, как я записал. Может, самому функцию взять, но какую?
Состояние: Консультация закрыта
Здравствуйте, Aleksandrkib!
Именно 2-ой и нужно использовать! Для начала упростим:
lim (2x+3) [ ln (x+2) — ln x ] = lim (2x+3) ln ((x+2)/x) = lim (2x+3) ln (1+2/x) = lim ln ((1+2/x)^(2x+3)) = lim ln ((1+2/x)^2x)+lim ln ((1+2/x)^3) [второй предел равен нулю, поскольку 2/x стремится к нулю, а ln 1 = 0]
Сделаем замену y = x/2, тогда lim ln ((1+2/x)^2x) = 4 lim ln ((1+1/y)^y) = 4 * ln e =4. Ответ: 4.
Какая-то функция обязательно должна быть.
Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »
Правило Лопиталя: теория и примеры решений
Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).
Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин . Если функции f (x ) и g (x a a , причём в этой окрестности g ‘(x a равны между собой и равны нулю
(
),
то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных
(
).
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, может быть, самой точки a , причём в этой окрестности g ‘(x )≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности
(
),
Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).
Замечания .
1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f (x ) и g (x ) не определены при x = a .
2. Если при вычисления предела отношения производных функций f (x ) и g (x ) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).
3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a , а к бесконечности (x → ∞).
К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.
Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»
Пример 1.
x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем
В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе — производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.
Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 4. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:
Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.
Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.
Пример 6. Вычислить
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.
Пример 7. Вычислить
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Пример 8. Вычислить
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9. Вычислить
Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.
Пример 10. Вычислить
.
Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.
Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»
Пример 11. Вычислить
(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как
а затем применили правила Лопиталя).
Пример 12. Вычислить
.
В этом примере использовано тригонометрическое тождество .
Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»
Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида
Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма 
.
Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:
Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.
Пример 13.
.
.
Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
.
Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
Раскрытие неопределённостей вида «бесконечность минус бесконечность»
Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости «бесконечность минус бесконечность»: 
.
Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:
В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.
Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Вычислить пределы применяя правило лопиталя
Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или:
Правила Лопиталя
Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется:
Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:
Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой. В данном случае:
Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности, не случайно в сборниках задач, на контрольных работах, зачётах часто встречается устойчивый штамп: «вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя ». Выделенное жирным шрифтом требование можно с чистой совестью приписать и к любому пределу уроков Пределы. Примеры решений , Замечательные пределы . Методы решения пределов , Замечательные эквивалентности , где встречается неопределённость «ноль на ноль» либо «бесконечность на бесконечность». Даже если задание сформулировано коротко – «вычислить пределы», то негласно подразумевается, что вы будете пользоваться всем, чем угодно, но только не правилами Лопиталя.
Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла!
Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя
В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи. Метод трансформации прост и стандартен:
Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы , похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.
Сразу оговорюсь, что правила будут приведены в лаконичном «практическом» виде, и если вам предстоит сдавать теорию, рекомендую обратиться к учебнику за более строгими выкладками.
6) Применим последнее правило сведения к второй замечательной границы
Раскрытие неопределенностей сводится предварительно рассмотренным выше неопределенностей. Если, а при, то применяем преобразование
бесконечность или ноль на ноль является применение правила Лопиталя: предел отношения двух
В случае трех последних неопределенностей нужно применять преобразования
5) Есть неопределенность вида бесконечность на бесконечность.
бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных,
3) Учитывая неопределенность применяем предыдущее правило
Вычисление пределов по правилу Лопиталя
Эффективным способом вычисления пределов функций, имеющих особенности типа бесконечность на
Решение. 1) Подстановкой устанавливаем что имеем неопределенность вида ноль на ноль. Для избавления от
Опять получили неопределенность вида и повторно применяем правило Лопиталя
2) Как и в предыдущем примере мы имеем неопределенность. По правилу Лопиталя находим
Применение правила Лопиталя показало все возможности при раскрытии неопределенностей.
Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке
В окрестности точки x 0 , т.е. на (x 0 ,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x 0 , х) такая, что
Правило Лопиталя
Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x 0 в том случае, когда производная не существует.
Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x 0 .Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением самой точки x 0 , причем. Пусть, . Тогда если существует предел отношения производных функций, то существует предел отношения самих функций, причем они равны между собой, т.е. .
Вывод: показательная функция (y=a n) всегда растет быстрее, чем степенная (у=x n).
В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].
Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x 1 Posted in Полезные статьи
Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя
Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.
Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.
Предел функции в точке - правило Лопиталя
Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch
Правило Лопиталя
Если выполняются следующие условия:
- пределы функций f(x) и g(x) равны между собой и равны нулю или бесконечности:
или; - функции g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
- производная функции g(x) не равна нулю в проколотой окрестности a
- и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):
Тогда существует предел отношения функций f(x) и g(x):
,
И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):
В формуле допускается использование числа пи (pi), экспоненты (e), следующих математических операторов:
+
- сложение
—
- вычитание
*
- умножение
/
- деление
^
- возведение в степень
и следующих функций:
- Аренда Газели или Соболя Фургон без водителя Газель-Бизнес, 1 водитель + 2 пассажира. Кузов: 3 м.длина, 2 м. высота, бутка. Объем куб. 10,5. Двигатель: УМЗ-4216 (бензин), евро-4, 106,8 […]
- Реквизиты для уплаты налогов и взносов в 2017-2018 годах Реквизиты для уплаты налогов в 2017-2018 годах являются неотъемлемой частью любого платежа. Правильно заполнить платежное поручение […]
- Порядок рассмотрения Советом Федерации принятого Государственной Думой федерального закона (статьи 103–110) С т а т ь я 103. Принятие федерального закона к рассмотрению в Совете […]
- Уголовное право. Общая часть Уголовно-правовая норма Уголовно-правовая норма - это правило поведения, установленное государством, предоставляющее участникам общественных отношений […]
- Ограничен размер неустойки за просрочку по ипотеке 24 июля вступит в силу закон, которым ограничен размер неустойки за неисполнение или ненадлежащее исполнение гражданами обязательств по […]
- Убийство с отягчающими обстоятельствами наказание В соответствии с действующим уголовным законом простое убийство (ч.1 ст.105 УК РФ) «наказывается лишением свободы на срок от шести до […]
Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя . Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.
Правило Лопиталя: история и определение
На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли . Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли , а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.
Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.
Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.
Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:
Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.
Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:
Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0 . Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:
Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:
Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0 :
Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0 :
Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:
Теперь перейдем к примерам.
Пример 1
Найти предел по правилу Лопиталя:
Пример 2
Вычислить с использованием правила Лопиталя:
Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а , то правило Лопиталя можно применять несколько раз.
Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:
Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам . Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.
Правило говорит, что если функции f (x ) и g (x ) обладают следующим набором условий:
тогда существует 
. При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).
История
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», .
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).
Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f (a ) = g (a ) = 0 . Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши . По этой теореме получим:
,
но f
(a
) = g
(a
) = 0
, поэтому 
.
Src="/pictures/wiki/files/56/85e2b8bb13d6fb1ddcf88e22a4bb6ef2.png" border="0"> для конечного предела и src="/pictures/wiki/files/101/e8b2f2b8861947c8728d4d1be40366d4.png" border="0"> для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида .
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A . Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α , где α - (1). Запишем это условие:
.Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка :
, что можно привести к следующему виду:
.
Для x , достаточно близких к a , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f (t ) и g (t ) - константы , а f (x ) и g (x ) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β , где β - бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для α :
.Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A
+ α)
, и 
. По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и A
был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен A
.
Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
(x)}{g"(x)}>2M)" src="/pictures/wiki/files/101/e46c5113c49712376d1c357b5b202a65.png" border="0">.
В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x , достаточно близких к a , а тогда src="/pictures/wiki/files/50/2f7ced4a9b4b06f7b9085e982250dbcf.png" border="0">.
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
(Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0 ; или к ; или к .)
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Лопиталя правило" в других словарях:
Исторически неправильное наименование одного из основных правил раскрытия неопределённостей. Л. п. было найдено И. Бернулли и сообщено им Г. Лопиталю (См. Лопиталь), опубликовавшему это правило в 1696. См. Неопределённые выражения … Большая советская энциклопедия
Раскрытие неопределенностей вида сведением предела отношения функций к пределу отношения производных рассматриваемых функций. Так, для случая, когда действительные функции f и gопределены в проколотой правосторонней окрестности точки ачисловой… … Математическая энциклопедия
Правило Бернулли Лопиталя метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.… … Википедия
В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… … Википедия
В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу… … Википедия