Сравнение рациональных чисел. Сравнение рациональных чисел, правила, примеры
В этой статье дается подробный обзор наиболее важных моментов, касающихся сравнения рациональных чисел . Если знаки сравниваемых чисел различны, то можно сразу сказать, какое число больше, а какое меньше, поэтому в самом начале мы разберем правило сравнения рациональных чисел с разными знаками. Дальше остановимся на сравнении нуля с другим рациональным числом. После этого подробно остановимся на сравнении положительных рациональных чисел. Наконец, перейдем к правилу сравнения отрицательных рациональных чисел. Теорию будем разбавлять решениями характерных примеров.
Навигация по странице.
Сравнение рациональных чисел с разными знаками
Проще всего выполнить сравнение двух рациональных чисел, имеющих разные знаки . При этом используется правило сравнения чисел с разными знаками : любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше положительного.
Например, из двух рациональных чисел 5/7 и −0,25 больше число 5/7 , так как оно положительное, а меньше число −0,25 , так как оно отрицательное. Еще пример: отрицательное рациональное число меньше, чем положительное рациональное число 0,000(1) .
Сравнение рационального числа с нулем
Очень просто проводится сравнение нуля с рациональным числом , отличным от нуля. При этом справедливо правило: любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.
Приведем пару примеров сравнения рационального числа с нулем. Число 4/9 больше, чем 0 , так как 4/9 – положительное число, с другой стороны 0 меньше, чем 4/9 . Еще пример: число 0 больше, чем отрицательное рациональное число −45,5 , с другой стороны число −45,5 меньше нуля.
Также нужно сказать, про сравнение нуля с нулем : нуль равен нулю, то есть, 0=0 .
Здесь нужно заметить, что число нуль может быть записано в виде, отличном от 0 . Действительно, числу 0 отвечает любая запись вида 0/n , где n – любое натуральное число, или записи 0,0, 0,00, … , вплоть до 0,(0) . То есть, например, при сравнении двух рациональных чисел, записи которых имеют вид 0,00 и 0/3 , заключаем, что они равны, так как эти записи отвечают числам 0 и 0 соответственно.
Сравнение положительных рациональных чисел
Сравнение положительных рациональных чисел следует начинать со сравнения их целых частей. При этом используется следующее правило: больше то число, целая часть которого больше, а меньше то число, целая часть которого меньше.
Пример.
Какое из рациональных чисел 0,76 и больше?
Решение.
Сравниваемые рациональные числа положительные, причем достаточно очевидно, что целая часть числа 0,76 , равная нулю, меньше целой части числа , равной двум (при необходимости смотрите сравнение целых чисел). Следовательно, , значит, из двух исходных чисел больше число .
Ответ:
Нюансы в применении указанного выше правила могут возникнуть лишь тогда, когда одним из сравниваемых чисел является периодическая десятичная дробь с периодом 9 , о чем мы упоминали в разделе равные и неравные десятичные дроби .
Пример.
Сравните рациональные числа 15 и 14,(9) .
Решение.
Периодическая дробь с периодом 9 вида 14,(9) является лишь одной из форм записи числа 15 . То есть, 15=14,(9) .
Ответ:
Исходные рациональные числа равны.
Если же целые части сравниваемых рациональных чисел равны, итоговый результат сравнения поможет получить сравнение дробных частей. Дробную часть рационального числа всегда можно представить в виде обыкновенной дроби m/n , а также в виде конечной или периодической десятичной дроби . Таким образом, сравнение дробных частей двух положительных рациональных чисел всегда можно свести к сравнению обыкновенных дробей или к сравнению десятичных дробей . В итоге из двух положительных рациональных чисел с равными целыми частями больше то, дробная часть которого больше, а меньше то – дробная часть которого меньше.
Пример.
Проведите сравнение положительных рациональных чисел 3,7 и .
Решение.
Очевидно, целые части сравниваемых рациональных чисел равны 3=3 . Переходим к сравнению дробных частей, то есть, к сравнению чисел 0,7 и 2/3 .
Покажем два способа.
В первом из осуществим перевод десятичной дроби в обыкновенную : 0,7=7/10 . Приходим к сравнению обыкновенных дробей 7/10 и 2/3 . После их приведения к общему знаменателю 30 получаем , откуда следует, что и . Следовательно, .
Во втором варианте решения выполним перевод обыкновенной дроби в десятичную , имеем . Так от сравнения 0,7 и 2/3 мы пришли к сравнению десятичных дробей 0,7 и 0,(6) , результат которого таков: 0,7>0,(6) . Следовательно, и .
Очевидно, оба способа нас привели к одинаковому результату сравнения исходных рациональных чисел.
Ответ:
Если равны и целые и дробные части сравниваемых положительных рациональных чисел, то эти числа равны.
Пример.
Сравните числа 4,5 и .
Решение.
Очевидно, целые части чисел равны. Дробная часть числа 4,5 равна 0,5 , перевод этой десятичной дроби в обыкновенную дает 1/2 . Таким образом, дробные части исходные чисел тоже равны. Следовательно, исходные рациональные числа равны.
Ответ:
Закончим этот пункт следующим утверждением: если записи сравниваемых чисел полностью совпадают, то эти числа равны. Действительно, в этом случае равны и целые части и дробные части сравниваемых чисел. Например, равными являются рациональные числа 5,698 и 5,698 , также равны числа и .
Сравнение отрицательных рациональных чисел
Сравнение отрицательных рациональных чисел подчиняется правилу сравнения отрицательных чисел : из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, и меньше то, модуль которого больше.
Это правило сводит сравнение отрицательных рациональных чисел к сравнению положительных рациональных чисел, разобранному в предыдущем пункте.
1. Какие числа пропущены? а) 497, 498, ..., 500; б) 902, 901, ..., 899. Что означает каждая цифра в записи чисел 902 и 498?
Назовите соседние числа для числа 498, последующее число для числа 899, предыдущее для числа 700.
2. Сравните (>, 799 * 800 701 * 703
65 * 67 650 * 648
Как сравнить многозначные числа?
3. Железный Дровосек учил Страшилу сравнивать числа с помощью числового отрезка. Ему нужно было сравнить числа 231 и 233. Он сделал это так. Результат записал: 231 Страшила тоже учил Железного Дровосека сравнивать числа. Он сказал, что может сравнивать числа по разрядам.
Например: 54 700; 370 ; 698 * 798 456 * 458
712 * 721 534 * 367
4. Сравните
5. Выразите
а) в сотнях: 900, 700, 200, 500, 400;
б) в десятках: 60, 120, 240, 400.
6. Элли придумала задачу и составила таблицу. Каким мог быть текст этой задачи?
7. Подберите значения переменных и решите задачу разными способами.
Мигуны подарили Храброму Льву 3 золотых колокольчика массой а кг каждый и столько же золотых ошейников массой с кг каждый. Чему равна масса всех этих подарков?
8. На какие группы можно разбить подарки Мигунов? Чему равен объём коробки, если её длина 5 дм, ширина 30 см, высота 200 мм? Выразите объём в кубических дециметрах. Пятую часть коробки занимает золотая шапка Бастинды. Чему равен объём этой части коробки?
Начальный уровень
Сравнение чисел. Исчерпывающий гид (2019)
При решении уравнений и неравенств, а также задач с модулями требуется расположить найденные корни на числовой прямой. Как ты знаешь, найденные корни могут быть разными. Они могут быть такими: , а могут быть и вот такими: , .
Соответственно, если числа не рациональные а иррациональные (если забыл что это, ищи в теме ), или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично. Тем более, что калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами?).
Конечно, ты знаешь, что положительные цифры всегда больше отрицательных, и что если мы представим числовую ось, то при сравнении, наибольшие числа будут находиться правее, чем наименьшие: ; ; и т.д.
Но всегда ли все так легко? Где на числовой оси мы отметим, .
Как их сравнить, например, с числом? Вот в этом-то и загвоздка …)
Для начала поговорим в общих чертах как и что сравнивать.
Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.
Сравнение дробей
Итак, нам необходимо сравнить две дроби: и.
Есть несколько вариантов, как это сделать.
Вариант 1. Привести дроби к общему знаменателю.
Запишем в виде обыкновенной дроби:
- (как ты видишь, я также сократила на числитель и знаменатель).
Теперь нам необходимо сравнить дроби:
Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:
- просто привести все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):
Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.
- «отбросим» (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:
Приводим их также к общему знаменателю:
Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае - первое число больше, чем второе:
Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:
1)
2)
Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу - сравнение дробей приводя их к общему… числителю.
Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю.
Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос - «в каких случаях значение дроби наибольшее?» Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».
Например, ты же точно скажешь, что Верно? А если нам надо сравнить такие дроби: ? Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае делят на частей, а во втором на целых, значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно: . Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?
А знак-то тот же.
Вернемся к нашему изначальному заданию - сравнить и. Будем сравнивать и. Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю. Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на. Получим:
и. Какая дробь больше? Правильно, первая.
Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания.
Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто. Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.
В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: .
Как ты уже понял, мы так же переводим в обыкновенную дробь и получаем тот же результат - . Наше выражение приобретает вид:
Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю. Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:
Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.
Приводим к общему знаменателю:
Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит?.. Правильно, первое число больше второго.
Разобрался? Попробуй сравнить дроби:
Стоп, стоп. Не спеши приводить к общему знаменателю или вычитать. Посмотри: можно легко перевести в десятичную дробь. Сколько это будет? Правильно. Что в итоге больше?
Это еще один вариант - сравнение дробей путем приведения к десятичной дроби.
Вариант 4. Сравнение дробей с помощью деления.
Да, да. И так тоже можно. Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от до.
Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например, и. Ты же знаешь, что больше? Теперь разделим на. Наш ответ - . Соответственно, теория верна. Если мы разделим на, что мы получим - меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что на самом деле меньше.
Попробуем применить это правило на обыкновенных дробях. Сравним:
Разделим первую дробь на вторую:
Сократим на и на.
Полученный результат меньше, значит делимое меньше делителя, то есть:
Мы разобрали все возможные варианты сравнения дробей. Как ты видишь их 5:
- приведение к общему знаменателю;
- приведение к общему числителю;
- приведение к виду десятичной дроби;
- вычитание;
- деление.
Готов тренироваться? Сравни дроби оптимальным способом:
Сравним ответы:
- (- перевести в десятичную дробь)
- (поделить одну дробь на другую и сократить на числитель и знаменатель)
- (выделить целую часть и сравнивать дроби по принципу одинакового числителя)
- (поделить одну дробь на другую и сократить на числитель и знаменатель).
2. Сравнение степеней
Теперь представим, что нам необходимо сравнить не просто числа, а выражения, где существует степень ().
Конечно, ты без труда поставишь знак:
Ведь если мы заменим степень умножением, мы получим:
Из этого маленького и примитивного примера вытекает правило:
Попробуй теперь сравнить следующее: . Ты так же без труда поставишь знак:
Потому что, если мы заменим возведение степень на умножение…
В общем, ты все понял, и это совсем несложно.
Сложности возникают только тогда, когда при сравнении у степеней разные и основания, и показатели. В этом случае необходимо попробовать привести к общему основанию. Например:
Разумеется, ты знаешь, что это, соответственно, выражение приобретает вид:
Раскроем скобки и сравним то, что получится:
Несколько особый случай, когда основание степени () меньше единицы.
Если, то из двух степеней и больше та, показатель которой меньше.
Попробуем доказать это правило. Пусть.
Введем некоторое натуральное число, как разницу между и.
Логично, неправда ли?
А теперь еще раз обратим внимание на условие - .
Соответственно: . Следовательно, .
Например:
Как ты понял, мы рассмотрели случай, когда основания степеней равны. Теперь посмотрим, когда основание находится в промежутке от до, но равны показатели степени. Здесь все очень просто.
Запомним, как это сравнивать на примере:
Конечно, ты быстро посчитал:
Поэтому, когда тебе будут попадаться похожие задачи для сравнения, держи в голове какой-нибудь простой аналогичный пример, который ты можешь быстро просчитать, и на основе этого примера проставляй знаки в более сложном.
Выполняя преобразования, помни, что если ты домножаешь, складываешь, вычитаешь или делишь, то все действия необходимо делать и с левой и с правой частью (если ты умножаешь на, то умножать необходимо и то, и другое).
Кроме этого, бывают случаи, когда делать какие-либо манипуляции просто невыгодно. Например, тебе нужно сравнить. В данном случае, не так сложно возвести в степень, и расставить знак исходя из этого:
Давай потренируемся. Сравни степени:
Готов сравнивать ответы? Вот что у меня получилось:
- - то же самое, что
- - то же самое, что
- - то же самое, что
- - то же самое, что
3. Сравнение чисел с корнем
Для начала вспомним, что такое корни? Вот эту запись помнишь?
Корнем степени из действительного числа называется такое число, для которого выполняется равенство.
Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени - только для положительных.
Значением корня часто является бесконечная десятичная дробь, что затрудняет его точное вычисление, поэтому важно уметь сравнивать корни.
Если ты подзабыл, что это такое и с чем его едят - . Если все помнишь - давай учиться поэтапно сравнивать корни.
Допустим, нам необходимо сравнить:
Чтобы сравнить эти два корня, не нужно делать никаких вычислений, просто проанализируй само понятие «корень». Понял, о чем я говорю? Да вот об этом: иначе можно записать как третья степень какого-то числа, равна подкоренному выражению.
А что больше? или? Это ты, конечно, сравнишь без всякого труда. Чем большее число мы возводим в степень, тем больше будет значение.
Итак. Выведем правило.
Если показатели степени корней одинаковы (в нашем случае это), то необходимо сравнивать подкоренные выражения (и) - чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.
Сложно запомнить? Тогда просто держи в голове пример и. Что больше?
Показатели степени корней одинаковы, так как корень квадратный. Подкоренное выражение одного числа () больше другого (), значит, правило действительно верное.
А что, если подкоренные выражения одинаковые, а вот степени корней разные? Например: .
Тоже вполне понятно, что при извлечении корня большей степени получится меньшее число. Возьмем для примера:
Обозначим значение первого корня как, а второго - как, то:
Ты без труда видишь, что в данных уравнениях должно быть больше, следовательно:
Если подкоренные выражения одинаковы (в нашем случае), а показатели степени корней различны (в нашем случае это и), то необходимо сравнивать показатели степени (и) - чем больше показатель, тем меньше данное выражение .
Попробуй сравнить следующие корни:
Сравним полученные результаты?
С этим благополучно разобрались:). Возникает другой вопрос: а что если у нас все разное? И степень, и подкоренное выражение? Не все так сложно нам нужно всего- навсего… «избавиться» от корня. Да, да. Именно избавиться)
Если у нас различные и степени и подкоренные выражения, необходимо найти наименьшее общее кратное (читай раздел про ) для показателей корней и возвести оба выражения в степень, равную наименьшему общему кратному.
Что мы все на словах и на словах. Приведем пример:
- Смотрим показатели корней - и. Наименьшее общее кратное у них - .
- Возведем оба выражения в степень:
- Преобразуем выражение и раскроем скобки (подробнее в главе ):
- Посчитаем, что у нас получилось, и поставим знак:
4. Сравнение логарифмов
Вот так, медленно, но верно, мы подошли к вопросу как же сравнивать логарифмы. Если ты не помнишь что это за зверь такой, советую для начала прочитать теорию из раздела . Прочитал? Тогда ответь на несколько важных вопросов:
- Что называется аргументом логарифма, а что его основанием?
- От чего зависит, возрастает ли функция или убывает?
Если все помнишь и отлично усвоил - приступаем!
Для того, чтобы сравнивать логарифмы между собой, необходимо знать всего 3 приема:
- приведение к одинаковому основанию;
- приведение к одинаковому аргументу;
- сравнение с третьим числом.
Изначально, обрати внимание на основание логарифма. Ты помнишь, что если оно меньше, то функция убывает, а если больше, то возрастает. Именно на этом будет основаны наши суждения.
Рассмотрим сравнение логарифмов, которые уже приведены к одинаковому основанию, либо аргументу.
Для начала упростим задачу: пусть в сравниваемых логарифмах равные основания . Тогда:
- Функция, при возрастает на промежутке от, значит по определению, то («прямое сравнение»).
- Пример: - основания одинаковы,соответственно сравниваем аргументы: , следовательно:
- Функция, при, убывает на промежутке от, значит по определению, то («обратное сравнение»). - основания одинаковы, соответственно сравниваем аргументы: , однако, знак у логарифмов будет «обратный», так как функция убывает: .
Теперь рассмотрим случаи, когда основания различны, но одинаковы аргументы.
- Основание больше.
- . В этом случае используем «обратное сравнение». Например: - аргументы одинаковы, и. Сравниваем основания: однако, знак у логарифмов будет «обратный»:
- Основание а находится в промежутке.
- . В этом случае используем «прямое сравнение». Например:
- . В этом случае используем «обратное сравнение». Например:
Запишем все в общем табличном виде:
| , при этом | , при этом | |
Соответственно, как ты уже понял, при сравнении логарифмов нам необходимо привести к одинаковому основанию, либо аргументу, К одинаковому основанию мы приходим, используя формулу перехода от одного основания к другому.
Можно также сравнивать логарифмы с третьим числом и на основании этого делать вывод о том, что меньше, а что больше. Например, подумай, как сравнить вот эти два логарифма?
Небольшая подсказка - для сравнения тебе очень поможет логарифм, аргумент которого будет равен.
Подумал? Давай решать вместе.
Мы легко сравним с тобой эти два логарифма:
Не знаешь как? Смотри выше. Мы только что это разбирали. Какой знак там будет? Правильно:
Согласен?
Сравним между собой:
У тебя должно получиться следующее:
А теперь соедини все наши выводы в один. Получилось?
5. Сравнение тригонометрических выражений.
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чего нужна единичная окружность и как на ней найти значение тригонометрических функций? Если ты не знаешь ответы на эти вопросы, очень рекомендую тебе прочитать теорию по этой теме. А если знаешь, то сравнить тригонометрические выражения между собой для тебя не составляет труда!
Немного освежим память. Нарисуем единичную тригонометрическую окружность и вписанный в нее треугольник. Справился? Теперь отметь, по какой стороне у нас откладывается косинус, а по какой синус, используя стороны треугольника. (ты, конечно помнишь, что синус, это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус прилежащей?). Нарисовал? Отлично! Последний штрих - проставь, где у нас будет, где и так далее. Проставил? Фух) Сравниваем, что получилось у меня и у тебя.
Фух! А теперь приступаем к сравнению!
Допустим, нам необходимо сравнить и. Нарисуй эти углы, используя подсказки в рамочках (где у нас отмечено, где), откладывая точки на единичной окружности. Справился? Вот что у меня получилось.
Теперь опустим перпендикуляр из точек, отмеченных нами на окружности на ось … Какую? Какая ось у нас показывает значение синусов? Правильно, . Вот что у тебя должно получиться:
Глядя на этот рисунок, что больше: или? Конечно, ведь точка находится выше точки.
Аналогичным образом мы сравниваем значение косинусов. Только перпендикуляр мы опускаем на ось… Верно, . Соответственно, смотрим, какая точка находится правее (ну или выше, как в случае с синусами), то значение и больше.
Наверное, ты уже догадываешься, как сравнивать тангенсы, верно? Все, что нужно, знать что такое тангенс. Так что такое тангенс?) Правильно, отношение синуса к косинусу.
Чтобы сравнить тангенсы мы так же рисуем угол, как и в предыдущем случае. Допустим, нам необходимо сравнить:
Нарисовал? Теперь так же отмечаем значения синуса на координатной оси. Отметил? А теперь укажи значения косинуса на координатной прямой. Получилось? Давай сравним:
А теперь проанализируй написанное. - мы большой отрезок делим на маленький. В ответе будет значение, которое точно больше единицы. Верно?
А при мы маленький делим на большой. В ответе будет число, которое точно меньше единицы.
Так значение какого тригонометрического выражения больше?
Правильно:
Как ты теперь понимаешь, сравнение котангенсов - то же самое, только наоборот: мы смотрим, как относятся друг к другу отрезки, определяющие косинус и синус.
Попробуй самостоятельно сравнить следующие тригонометрические выражения:
Примеры.
Ответы.
СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.
Какое из чисел больше: или? Ответ очевиден. А теперь: или? Уже не так очевидно, правда? А так: или?
Часто нужно знать, какое из числовых выражений больше. Например, чтобы при решении неравенства расставить точки на оси в правильном порядке.
Сейчас научу тебя сравнивать такие числа.
Если надо сравнить числа и, между ними ставим знак (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. - против): . Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства (). Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.
Суть сравнения чисел состоит в следующем: мы относимся к знаку так, будто это какой-то знак неравенства. И с выражением мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами:
- прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
- «перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется: .
- домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный: .
- возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень - четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный.
- извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны.
- любые другие равносильные преобразования.
Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.
Разберем несколько типичных ситуаций.
1. Возведение в степень.
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Поскольку обе части неравенства положительны, можем возвести в квадрат, чтобы избавиться от корня:
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Здесь тоже можем возвести в квадрат, но это нам поможет избавиться только от квадратного корня. Здесь надо возводить в такую степень, чтобы оба корня исчезли. Значит, показатель этой степени должен делиться и на (степень первого корня), и на. Таким числом является, значит, возводим в -ю степень:
2. Умножение на сопряженное.
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Домножим и разделим каждую разность на сопряженную сумму:
Очевидно, что знаменатель в правой части больше знаменателя в левой. Поэтому правая дробь меньше левой:
3. Вычитание
Вспомним, что.
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Конечно, мы могли бы возвести все в квадрат, перегруппировать, и снова возвести в квадрат. Но можно поступить хитрее:
Видно, что в левой части каждое слагаемое меньше каждого слагаемого, находящегося в правой части.
Соответственно, сумма всех слагаемых, находящихся в левой части, меньше суммы всех слагаемых, находящихся в правой части.
Но будь внимателен! У нас спрашивали что больше...
Правая часть больше.
Пример.
Сравните числа и.
Решение.
Вспоминаем формулы тригонометрии:
Проверим, в каких четвертях на тригонометрической окружности лежат точки и.
4. Деление.
Здесь тоже используем простое правило: .
При или, то есть.
При знак меняется: .
Пример.
Выполни сравнение: .
Решение.
5. Сравните числа с третьим числом
Если и, то (закон транзитивности).
Пример.
Сравните.
Решение.
Сравним числа не друг с другом, а с числом.
Очевидно, что.
С другой стороны, .
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Оба числа больше, но меньше. Подберем такое число, чтобы оно было больше одного, но меньше другого. Например, . Проверим:
6. Что делать с логарифмами?
Ничего особенного. Как избавляться от логарифмов, подробно описано в теме . Основные правила такие:
\[{\log _a}x \vee b{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee {a^b}\;{\rm{при}}\;a > 1}\\{x \wedge {a^b}\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a > 1}\\{x \wedge y\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right.\]
Также можем добавить правило про логарифмы с разными основаниями и одинаковым аргументом:
Объяснить его можно так: чем больше основание, тем в меньшую степень его придется возвести, чтобы получить один и тот же. Если же основание меньше, то все наоборот, так как соответствующая функция монотонно убывающая.
Пример.
Сравните числа: и.
Решение.
Согласно вышеописанным правилам:
А теперь формула для продвинутых.
Правило сравнения логарифмов можно записать и короче:
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Пример.
Сравните, какое из чисел больше: .
Решение.
СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
1. Возведение в степень
Если обе части неравенства положительны, их можно возвести в квадрат, чтобы избавиться от корня
2. Умножение на сопряженное
Сопряженным называется множитель, дополняющий выражение до формулы разности квадратов: - сопряженное для и наоборот, т.к. .
3. Вычитаение
4. Деление
При или то есть
При знак меняется:
5. Сравнение с третьим числом
Если и, то
6. Сравнение логарифмов
Основные правила.
Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.
Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.
Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.
В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы
Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:
Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.
Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило
Находим модули чисел:
|4| = 4
|1| = 1
Сравниваем найденные модули:
4 > 1
Отвечаем на вопрос:
4 > 1
Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:
Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Например, сравним числа −3 и −1
Находим модули чисел
|−3| = 3
|−1| = 1
Сравниваем найденные модули:
3 > 1
Отвечаем на вопрос:
−3 < −1
Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.
Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой
Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.
Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2
Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».
Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса
Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.
Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет , чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.
Пример 1.
Сравнить рациональные числа
Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем
Пример 2.
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули:
Пример 3. Сравнить числа 2,34 и
Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что 2,34 больше, чем
Пример 4. Сравнить рациональные числа и
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Пример 5.
Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем
Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и
Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем
Пример 7 . Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403
Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль
Находим модули чисел
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403
Пример 8. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.
Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.
Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256
Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256
поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256
15,4 > 2,1256
Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа
154000 > 21256
Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.
Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей
Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.
А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2
−0,152 > −15,2
Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:
В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7
−3,4 > −3,7
Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и
Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.
Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Вариант 1
F (–5,78).
а) –5,78; б) 5,78; в) 5; г) другой ответ.
M (–3) и N (1) координатной прямой.
а) 2; б) 3; в) 4; г) другой ответ.
3. Сколько натуральных чисел на координатной прямой между числами –4 и 8,6?
а) 11; б) 12; в) 13; г) другой ответ.
4. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами –2,3 и 2,78?
а) 1; 2; б) 0; 1; 2; в) –2; –1; 0; 1; 2; г) другой ответ.
а) 8; б) 18; в) 13; г) другой ответ.
6. Сравните модули чисел –47,2 и –47,8.
а) |–47,2| =| –47,8|; б) |–47,2| < |–47,8|; в) |–47,2| > |–47,8|; г) нельзя сравнить.
7. Сравните числа 
а) 
; б) 
; в) 
; г) нельзя сравнить.
8. Расположите числа 3; –2,5; 1,85; –1,99; –2,49; 3,01 в порядке возрастания.
а) 3,01; 3; 1,85; –1,99; –2,5; –2,49;
б) –1,99; –2,49; –2,5; 1,85; 3; 3,01;
в) –2,5; –2,49; –1,99; 1,85; 3; 3,01;
г) другой ответ.
9. Какие цифры можно записать вместо звездочки, чтобы получилось верное неравенство ?
а) 1, 2, 3, 4; б) 0, 1, 2, 3, 4; в) 6, 7, 8, 9; г) другой ответ.
10. Найдите значения все значения х , для которых
а) –5,7; б) 5,7; в) 5,7 и –5,7; г) другой ответ.
Вариант 2
Запишите номера заданий и буквы правильных ответов.
1. Найдите расстояние от начала координат до точки G (–6,7).
а) –6,7; б) 6,7; в) 6; г) другой ответ.
2. Найдите расстояние в единичных отрезках между точками P (–2) и S (4) координатной прямой.
а) 6; б) 2; в) 8; г) другой ответ.
3. Сколько натуральных чисел расположено на координатной прямой между числами –2 и 7,02?
а) 9; б) 8; в) 7; г) другой ответ.
4. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами –3,7 и 2,9?
а) 1; 2; б) 0; 1; 2; в) –3;–2; –1; 0; 1; 2; г) другой ответ.
5. Найдите значение выражения 
а) 6; б) 5; в) 20; г) другой ответ.
6. Сравните модули чисел –52,9 и –52,3.
а) –|52,9| = |–52,3|; б) |–52,9| < |–52,3|; в) |–52,9| > |–52,3|; г) нельзя сравнить.
7. Сравните числа 
.
а) 
; б) 
; в) 
; г) нельзя сравнить.