Стандартные обозначения

Треугольник с вершинами A , B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Признаки равенства треугольников

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);
2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;
2. по двум катетам;
3. по катету и острому углу;
4. по гипотенузе и острому углу.

Некоторые точки в треугольнике - «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли . Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это - точки Аполлония . Точки и такие, что и называются точками Брокара .

Прямые

В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера .

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара . На ней лежат точки Аполлония. Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана. Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис . На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью , она перпендикулярна прямой Эйлера.

Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны.

Треугольники

• Треугольник с вершинами в основаниях чевиан, проведённых через данную точку, называется чевианным треугольником этой точки.
• Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
• Треугольник в вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником . Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному.

Окружности

• Вписанная окружность - окружность , касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром .
• Описанная окружность - окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность также единственна.
• Вневписанная окружность - окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Таких окружностей в треугольнике три. Их радикальный центр - центр вписанной окружности срединного треугольника, называемый точкой Шпикера .

Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера . Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера. Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных. Точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек называется точкой Фейербаха . Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, ортезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности - окружности Конвея . В любой треугольник можно вписать три окружности таким образом, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Такие окружности называются окружностями Мальфатти . Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна .

В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера . Отрезки, соединяющие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера . Она служит центром гомотетии , которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна , а отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей - в точке Нагеля .

Эллипсы, параболы и гиперболы

Вписанная коника (эллипс) и её перспектор

В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов , парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке.

Описанный эллипс Штейнера и чевианы, проходящие через его фокусы

В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника). Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера . Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера.

Эллипс Брокара и его перспектор - точка Лемуана

Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара . Его перспектором служит точка Лемуана.

Свойства вписанной параболы

Парабола Киперта

Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта . Её перспектор - четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера .

Гипербола Киперта

Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек.

Преобразования

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек : центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники - в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением . Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием . Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция - проективное преобразование , которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось - трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера - центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки ).

Кубики

Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе , , - это длины трёх сторон треугольника, и , , - это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном - равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики .

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема синусов

,

где R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.

Теорема косинусов

Теорема тангенсов

Прочие соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для :

Решение треугольников

Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников» . При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы.

Площадь треугольника

Частные случаи Обозначения

Для площади справедливы неравенства:

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .

Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим , где , , - проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

и аналогично

Площадь треугольника равна .

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона .

Теоремы о треугольниках

История изучения

Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с античности.

Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке : была доказана

Задача. Даны три попарно не совпадающие и не лежащие на одной прямой точки A, B и C, заданные своими координатами. Определить принадлежит ли точка D(x_d,y_d) треугольнику ABC.
Сразу заметим, что задача легко обобщается для любого выпуклого многоугольника.

Тесты

В тестах нужно обязательно отразить следующие случаи:

1. Точка строго вне треугольника
2. Точка строго внутри треугольника
3. Точка совпадает с одной из вершин треугольника
4. Точка лежит на одной из сторон треугольника
5. Точка лежит на продолжении одной из сторон треугольника
6. Одна из сторон треугольника параллельна одной из осей координат
7. Две стороны треугольника параллельны осям координат

xa	ya	xb	yb	xc	yc	xd	yd	Принадлежит?
-1	-1	1	-1	0	1	2	2	нет
-2	-2	1	-1	0	1	0	0	да
-1	-1	1	-1	0	1	0	1	да
-1	-1	1	-1	0	1	0.5	0	да
-1	-1	1	-1	0	1	1	3	нет
-1	-1	1	-1	0	1	0	0	да
0	0	2	0	0	2	1	1	да
0	0	2	0	0	2	5	5	нет

Плохое решение

В школьных учебниках такие задачи часто рекомендуют решать проверкой условия S_{ABC}=S_{ABD}+S_{BCD}+S_{CAD}. При компьютерной реализации это приводит к необходимости сравнения двух действительных чисел на равенство. Эта крайне неприятная операция может быть проделана только с определённой степенью достоверности. Т.е. придётся проверять не превышает ли некоторого «с потолка» выбранного малого числа абсолютное \left| S_{ABD}+S_{BCD}+S_{CAD}-S_{ABC} \right| < \varepsilon или относительное \left| 1-\frac{S_{ABD}+S_{BCD}+S_{CAD}}{S_{ABC}} \right| < \varepsilon отклонение. Оставим эти вопросы для курса численных методов и методов приближённых вычислений и не будем идти по этому пути.

Неплохое решение

Начнём с простого наблюдения:

Все точки треугольника (и любого выпуклого многоугольника) должны лежать по одну сторону от прямой, проходящей через каждую его сторону.

Запишем уравнение прямой, проходящей, например, через точки A и B. Получим \left(x-x_A \right) \left(y_B-y_A \right)-\left(y-y_A \right) \left(x_B-x_A \right) = 0. Уравнение я записал в такой форме, чтобы не приходилось выполнять деление и переживать о нуле в знаменателе.

Теперь для любой точки \left(x;y \right) мы можем вычислить левую часть приведенного равенства. Для точек, лежащих на прямой мы должны получать ноль. В тоже время прямая разобьёт плоскость на две полуплоскости. Точки лежащие в одной полуплоскости будут давать положительные значения. А точки из другой полуплоскости — отрицательные.
Мы готовы проверить первое условие — принадлежит ли точка D \left(x_d,y_d \right) той же полуплоскости, что и точка C \left(x_c,y_c \right) относительно прямой \left(AB \right) ? Для этого подставим обе точки в левую часть приведенного выше уравнения прямой и убедимся, что получены значения одного и того же знака. А если одна из точек даст точно ноль? Это означает, что точка лежит на прямой. По условию задачи это может быть только точка D. Тогда она принадлежит треугольнику независимо от знака выражения, вычисленного для точки C.

Обратите внимание, что мы не утверждаем, что для любой точки на прямой наши приближённые вычисления обязаны дать точный ноль. Это было бы неверно. Мы только утверждаем, что если проведенные с доступной нам точностью вычисления всё же дали точный ноль, то мы вынуждены считать данную точку лежащей на данной прямой.

Естественно, что нам придётся записать аналогичные условия для двух оставшихся сторон треугольника (или для всех оставшихся сторон выпуклого многоугольника).

Плохой код

Начнём с того, что объявим переменные и прочитаем их значения. После этого запишем одно очень громоздкое условие, которое и проверяет принадлежность.

Принадлежит ли точка треугольнику?

#include int main () // читаем координаты точки A // читаем координаты точки D // читаем координаты точки C // читаем координаты точки D printf ( (((xd - xa ) * (yb - ya ) - (yd - ya ) * (xb - xa ) ) * ((xc - xa ) * (yb - ya ) - (yc - ya ) * (xb - xa ) ) >= 0 ) && (((xd - xb ) * (yc - yb ) - (yd - yb ) * (xc - xb ) ) * ((xa - xb ) * (yc - yb ) - (ya - yb ) * (xc - xb ) ) >= 0 ) && (((xd - xc ) * (ya - yc ) - (yd - yc ) * (xa - xc ) ) * ((xb - xc ) * (ya - yc ) - (yb - yc ) * (xa - xc ) ) >= 0 ) ? "yes" : "no" ) ; return 0 ;

Приведенный код имеет существенные недостатки. Нам пришлось трижды записывать уравнение прямой проходящей через две точки и дважды подставлять в каждое из них координаты, чтобы проверить знак. Это значит, что нам пришлось шесть раз написать некоторую формулу с различными подстановками. При том подходе, что мы использовали имеем две проблемы. Во-первых, условие стало слишком сложным, чтобы его можно было легко воспринять. Во-вторых, и это гораздо хуже, такой код в \frac { 1-{ \left(1-p \right) }^{ 6 } }{ p } раз увеличивает вероятность совершить ошибку. Забавно, но это означает, что вероятность ошибки начинающего программиста увеличивается вдвое, а у опытного — в шесть раз. Хорошо, что опытные программисты не пишут такой код.

Неплохой код

Воспользуемся тем, что мы уже умеем создавать собственные функции для того, чтобы несколько сократить объём кода и сделать его более лёгким для восприятия.
Запишем условие на языке программирования С++:

Решение с использованием функций

#include // Вычисляет положение точки D(xd,yd) относительно прямой AB double g (double xa , double ya , double xb , double yb , double xd , double yd ) return (xd - xa ) * (yb - ya ) - (yd - ya ) * (xb - xa ) ; // Лежат ли точки C и D с одной стороны прямой (AB)? bool f (double xa , double ya , double xb , double yb , double xc , double yc , double xd , double yd ) return g (xa , ya , xb , yb , xc , yc ) * g (xa , ya , xb , yb , xd , yd ) >= 0 ; int main () double xa , ya , xb , yb , xc , yc , xd , yd ; scanf ("%lf%lf" , &xa , &ya ) ; // читаем координаты точки A scanf ("%lf%lf" , &xb , &yb ) ; // читаем координаты точки B scanf ("%lf%lf" , &xc , &yc ) ; // читаем координаты точки C scanf ("%lf%lf" , &xd , &yd ) ; // читаем координаты точки D printf (f (xa , ya , xb , yb , xc , yc , xd , yd ) && f (xb , yb , xc , yc , xa , ya , xd , yd ) && f (xc , yc , xa , ya , xb , yb , xd , yd ) ? "yes" : "no" ) ; return 0 ;

Нажмите , чтобы выполнить этот код.
Трудно сказать, стал ли код боле понятным или лаконичным. Однако можно точно сказать, что в нём отсутствуют повторяющиеся алгоритмические блоки. Все участки кода написаны строго по одному разу. Это уменьшает вероятность ошибки.

Чеширский код

Этот код содержит пока не изученные вами конструкции. Из-за этого он может показаться немного загадочным. Но если продолжать грызть гранит науки, то всё легко освоите. Или можно подождать…

Возможно слишком смело называть это хорошим кодом, но мы сделаем ещё один шаг в нужном направлении. В прошлом коде мы избавились от повторов в кодировании алгоритма. Однако остались повторы в кодировании данных. Вы заметили, что у нас четыре пары переменных? Т.е. просматривается структура состоящая из пары координат x и y , которую стоит объединить и назвать «точкой». Такие структуры в программировании на Си описывают с помощью ключевого слова struct. Это полезная промежуточная структура перед переходом к объектно-ориентированному программированию при помощи классов.

Структура для кодирования точек

#include struct point { double x , y ; } ;

36. Мы уже рассматривали фигуру, состоящую из двух пересекающихся прямых (вертикальные углы, п. 18). Присоединим к ним еще третью прямую, пересекающую каждую из первых двух прямых в отдельно точке. Получим фигуру, данную на чер. 42: прямая a и прямая b пересекаются в точке C, прямые b и c – в точке A и прямые c и a – в точке B (мы называем для сокращения письма и речи каждую прямую одною малою буквою). Построенная фигура называется треугольником . Слово «треугольник» обозначается знаком Δ; обыкновенно треугольник обозначают тремя буквами, которыми названы три точки пересечения прямых. На чер. 42 имеем ΔABC.

Прямые a , b и с называют сторонами треугольника, точки A, B и C – его вершинами . Треугольник разделяет плоскость на 7 областей, из которых 6 бесконечны, а одна конечная. Эта последняя ограниченна сторонами треугольника и называется площадью треугольника. При каждой вершине треугольника образуется по 4 угла меньших выпрямленного, например, ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 при точке A; внутренняя область одного из них, а именно ∠1, захватывает площадь треугольника (или: площадь треугольника лежит внутри ∠1) – этот угол называется внутренним углом треугольника, а остальные три (∠2, ∠3 и ∠4) – внешними . Среди внешних углов рассматривают обыкновенно лишь один при каждой вершине: при точке A ∠2 или ∠4, которые равны между собою как вертикальные, а ∠3 = внутреннему ∠1 на том же основании. Всего имеем в треугольнике 3 внутренних угла, которые часто называются просто углами треугольника.

Название «сторона треугольника» употребляется в двух смыслах: 1) этим именем называют, как указано выше, одну из трех прямых, напр., прямую a, неопределенно продолженную, 2) этим же именем называют отрезок этой прямой между двумя вершинами, напр., отрезок BC. Если вопрос таков, что приходится рассматривать только отрезки наших трех прямых, то треугольник изображают так, как на чер. 43.

В треугольнике обыкновенно рассматривают 6 элементов: три стороны (отрезки) AB, BC и CA и 3 внутренних угла – ∠A, ∠B и ∠C.

37. Рассматривая ΔABC (чер. 42), мы видим, что здесь является возможным применить построение п. 29. Именно в конце п. 29 мы пришли к заключению, что если дана прямая и вне ее точка, то через эту точку можно построить прямую, параллельную данной. На чер. 42 мы можем, например, счесть прямую a за данную прямую и точку A за данную точку (либо: прямую b и точку B, либо прямую c и точку C). Построим же через точку A прямую, параллельную стороне BC (или прямой a). Получим фигуру, данную на чер. 44, где MN || BC. Назовем внутренние углы ΔABC нумерами 1, 2, 3 и занумеруем еще нумерами 4, 5 и 6 некоторые углы при точке A, полученные после построения прямой MN (см. чер. 44). Мы видим, что при точке A выполнено сложение нескольких углов. Например, мы видим, что

∠1 + ∠4 + ∠5,

причем сумма равна выпрям. углу BAD, т. е.

∠1 + ∠4 + ∠5 = выпрям. углу.

Но ∠4 = ∠3, так как это внутренние накрест-лежащие углы при параллельных BC и MN и секущей AC; также ∠5 = ∠2 как соответственные углы при параллельных BC и AM и секущей BD. Поэтому в предыдущем равенстве мы можем заменить ∠4 и ∠5 углами 3-м и 2-м; тогда получим

∠1 + ∠3 + ∠2 = выпр. углу,

т. е. оказывается, что во всяком треугольнике сумма внутренних углов (если их сложить) равна выпрямленному углу .

К тому же результату мы придем, если обратим внимание, что при точке A выполнено сложение ∠6, ∠1 и ∠4, причем сумма равна выпрям. углу NAM. Здесь, следовательно, мы видим :

∠6 + ∠1 + ∠4 = выпр. углу.

Но мы знаем, что ∠6 = ∠2, как внутр. накр.-леж. при параллельных BC и NM и секущей BD и ∠4 = ∠3, как внутр. накр.-леж. при тех же параллельных и секущей CA. Поэтому заключаем , что

∠2 + ∠1 + ∠3 = выпр. углу.

Обратим еще внимание на ∠CAD, являющийся внешним для ΔABC. Мы видим , что лучом AM он разбит на 2 слагаемых, на ∠4 и ∠5, т. е.

∠CAD = ∠4 + ∠5.

Но, как мы уже выяснили, ∠4 = ∠3 и ∠5 = ∠2; следовательно.,

∠CAD = ∠3 + ∠2.

Эти 2 угла (∠3 и ∠2) являются внутренними углами ΔABC, не смежными с ∠CAD (с ∠CAD смежен ∠1). Поэтому мы заключаем:

Внешний угол треугольника (образованный одною его стороною и продолжением другой) равен сумме двух внутренних углов с ним не смежных .

Мы можем из чертежа 44 выделить только те элементы, которые необходимы для выяснения полученных свойств, и удалить все остальное, не нужное, тогда получим упрощенный чертеж. На чертежах 45 и 46 даны 2 таких упрощенных чертежа. Для чер. 45 имеем:

1) ∠1 + ∠4 + ∠5 = выпр. углу, но ∠4 = ∠3 и ∠5 = ∠2; след., ∠1 + ∠3 + ∠2 = выпр. углу.

2) ∠CAD = ∠4 + ∠5, но ∠4 = ∠3 и ∠5 = ∠2. Следов, ∠CAD = ∠3 + ∠2.

Для чер. 46 имеем: ∠6 + ∠1 + ∠4 = выпр. углу, но ∠6 = ∠2 и ∠4 = ∠3, следов., ∠2 + ∠6 + ∠3 = выпр. углу.

38. Задача . Построить Δ с такими же сторонами, как у данного треугольника. Пусть дан ΔABC (чер. 47). Строим где-либо прямую и на ней при помощи циркуля откладываем отрезок MN = AC. Таким образом мы получили две вершины искомого треугольника M и N. Чтобы найти третью вершину, воспользуемся задачею п. 27: надо найти такую точку, чтобы отрезок, соединяющий ее с точкой M, был равен AB и отрезок, соединяющий ее с точкою N, был = CB. Эти круги пересекутся в двух точках P и Q; соединив эти точки прямыми с M и N, получим два искомых треугольника: один ΔMPN и другой ΔMQN (MN = AC; MP = MQ = AB; NP = NQ = CB). Примем, что два круга не могут пресекаться более, чем в двух точках (впоследствии этот вопрос будет разъяснен в п. 128). Согласно п. 26 точки пересечения наших кругов P и Q расположены симметрично относительно линии центров MN. Поэтому при перегибании всей фигуры по оси симметрии MN точка P должна совместиться с точкою Q, а, следовательно, ΔMPN совместиться с ΔMQN. Согласно п. 2, мы можем назвать эти треугольники равными или конгруэнтными.

Если мы повторим где-либо на ином месте плоскости предыдущее построение, то получим еще 2 треугольника DEF и DEK с такими же сторонами, как у ΔABC (DE = AC; DF = DK = AB, EF = EK = CB). Также в силу того, что прямая DE есть ось симметрии всей фигуры, мы заключим, что эти два треугольника равны или конгруэнтны между собою. Возникает теперь вопрос: можно ли добиться того, чтобы какой-либо из треугольников второй пары (напр., ΔDEF) совпал с каким-либо треугольником первой пары (напр., с ΔMPN)?

Круги позволят решить этот вопрос. Передвинем нижнюю фигуру чертежа 47 так, чтобы точка D совпала с точкой M и точка E с точкой N (этого добиться можно потому, что MN = DE, – каждый из этих отрезков = AC). Тогда круги фигуры DFEK совпадут соотв. с кругами фигуры MPNQ (ибо радиусы этих кругов соотв. равны между собою и центры их совместились). Поэтому и точки пересечения этих двух пар кругов должны совместиться, т. е., напр., точка F совместится с точкою P и точка K с Q. Отсюда заключаем, что и ΔDEF должен совместиться с ΔMNP, что принято записывать в виде ΔDEF = ΔMNP. Мы также могли бы к ΔABC пристроить два круга, принимая точки A и C за центры и отрезки AB и CB за радиусы, и также при помощи этих кругов пришли бы к заключению, что

ΔABC = ΔMPN = ΔMQN = ΔDFE = ΔDKE.

Итак, если построить два треугольника с попарно равными сторонами, то эти треугольники конгруэнтны (или равны) .
(Следует помнить, что для геометрических фигур слова «конгруэнтны» или «равны» означают, что эти фигуры совпадают при наложении).

39. В предыдущем п. мы научились строить равные треугольники. Пусть ΔA"B"C" = ΔABC (чер. 48) и при наложении сторона A"B" совпадает с AB, B"C" – с BC и A"C" – с AC. Тогда и углы этих треугольников совпадают, а именно ∠C" с ∠C, ∠A" с ∠A и ∠B с ∠B, т. е. ∠C" = ∠C, ∠A" = ∠A и ∠B = ∠B. Ясно, что в равных треугольниках равные углы лежат против равных сторон и обратно: равные стороны против равных углов .

40. Задача . Построить треугольник по трем данным сторонам .

Пусть даны три отрезка a , b и c (чер. 49); требуется построить треугольник так, чтобы его стороны были соответственно равны данным отрезкам.

Строим где-либо один из данных отрезков a ; тогда определяется две вершины треугольника B и C. Третья вершина должна расположиться так, чтобы отрезок, соединяющий ее с точкою B, был = с и отрезок, соединяющий ее с точкою C, был = b ; поэтому нахождение ее сведется к задаче п. 27: надо, принимая B за центр, построить круг радиусом = c , и принимая C за центр, – круг радиусом = b и точку пересечения этих кругов, напр., точку A, соединить с точками B и C – тогда ΔABC и есть искомый. Соединив другую точку пересечения окружностей A" с точками B и C, получим другой такой же Δ, расположенный симметрично с первым относительно оси BC.

Для того, чтобы задача была возможна, надо, чтобы: 1) a – b < c или c > a – b и 2) a + b > c или c < a + b, т. е. чтобы один из данных отрезков был больше разности двух других и меньше их суммы.

41. Пусть теперь даны 2 отрезка a и b (чер. 50). Требуется построить треугольник так, чтобы его стороны были a, b и b (задача возможна, если a < b + b или a < 2b).

Согласно предыдущему п., построение легко выполняется и получим, напр., ∆ABC, у которого две стороны (AB и AC) равны между собой. Такой ∆ называется равнобедренным; та его сторона, которая не имеет себе равных (в ∆ABC сторона BC = a), называется основанием равнобедренного треугольника, а противоположная вершина A называется «вершиною равнобедренного треугольника», причем этим названием эта вершина A как бы выделяется из остальных вершин.

Вообразим, что ∆ABC повернут другою стороною, то новый ∆ABC (чер. 50 - справа) можно простым передвижением совместить с прежним: сторона BC левого треугольника равна стороне CB правого, сторона AB левого = стороне AC правого и сторона AC левого = стороне AB правого, а мы уже знаем, что если стороны двух треугольников попарно равны, то эти треугольники равны, т. е. при наложении совмещаются (п. 38) и ∠B левого треугольника равен, следовательно, углу C правого, или, что то же самое, углу C тоже левого треугольника. Итак, в равнобедренном ∆ABC, у которого AB = AC, ∠B также = ∠C. Это свойство выразим словами:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
или
В треугольнике, у которого две стороны равны, против равных сторон лежат равные углы.

42. Построим, наконец, ∆, у которого все 3 стороны равнялись бы данному отрезку a. Построение легко выполнить (чер. 50 bis). Этот ∆ называется равносторонним. Легко видеть, что этот ∆ можно счесть за равнобедренный с основанием CB; тогда ∠C = ∠B. Но его можно принять и за равнобедренный с основанием AB и тогда ∠A = ∠B, откуда приходим к заключению, что в равностороннем треугольнике все 3 угла равны между собою.

43. В п. 38 мы получили признак равенства треугольников: если стороны двух треугольников попарно равны, то и треугольники равны. Теперь мы можем, накладывая один треугольник на другой, получить еще другие признаки.

Построим какой угодно ∆ABC (чер. 51); затем построим ∠O = ∠A (п. 28) и на сторонах этого угла отложим отрезки OD > AB и OE < AC). На чер. 51 даны пунктиром те дуги, которые необходимы для построения ∠O = ∠A. Соединив точки D и E, получим ∆ODE. Наложим ∆ODE на ∆ABC так, чтобы ∠O совпал с ∠A (ведь ∠O = ∠A). В силу неравенств OD > AB и OE < AC, ∆ODE при этом наложении не совместится с ∆ABC (следует нарисовать, как именно расположится ∆ODE при этом наложении). Построим еще ∆O"D"E" так, чтобы 1) ∠O" = ∠A, 2) ∠O"D" = ∠AB и 3) O"E" < AC. Тогда при наложении треугольника O"D"E" на ∆ABC так, чтобы ∠O" совместился с ∠A, легко уясним, что и вершина D" должна также совместиться с точкою B (в силу равенства O"D" = AB), но точка E" не совпадет с точкою C, - треугольники опять не совместятся (нарисовать их расположение при указанном наложении!). Теперь легко ответить на вопрос: как надо изменить сторону O"E" треугольника O"D"E", чтобы быть убежденным, что этот ∆ совместится с ∆ABC?

Надо, ответим мы, увеличить сторону O"E" так, чтобы она сделалась равною стороне AC.

Итак, если мы построим ∆O""D""E"" так, чтобы 1) ∠O"" = ∠A, 2) O""D"" = AB и 3) O""E"" = AC, то мы можем быть убеждены, что ∆O""D""E"" = ∆ABC. Замечая, что ∠O"" и ∠A составлены попарно равными сторонами (на чертеже равные стороны и равные углы отмечены одинаковыми значками), мы можем сделать заключение:

Если построены два треугольника так, что у них по две равных стороны и углы, составляемые этими сторонами, также равны, то эти треугольники равны.

44. Построим два вертикальных угла при точке A – они, мы знаем, равны (чер. 52) и на сторонах этих углов отложим попарно равные отрезки AB = AD и AC = AE (это можно сделать двумя способами, почему на чер. 52 даны две фигуры I и II). Равны ли полученные треугольники? Как надо переместить ∆AED, чтобы он совпал с ∆ABC? Указать, какой угол одного из каждой пары треугольников равен какому-либо углу другого (можно воспользоваться п. 39 или выяснить, как именно расположится ∆AED при совмещении его с ∆ABC).

45. Построим какой-либо ∆ABC (чер. 53); затем построим ∆ODE так, чтобы сторона DE = стороне BC, чтобы ∠D был больше ∠B, но ∠E был меньше ∠C. Наложим ∆ODE на ∆ABC так, чтобы DE совпала с BC (точка D с B и точка E с C); этого добиться можно, так как эти стороны равны по построению.

Тогда, в силу того, что ∠D > ∠B и ∠E < ∠C, ∆ODE не совместится ∆ABC (следует нарисовать, как именно при этом наложении расположится ∆ODE). Построим еще ∆O"D"E" так, чтобы D"E" = BC, а также ∠E = ∠C, но, по-прежнему, ∠D" был больше ∠B. Тогда при наложении ∆O"D"E" на ∆ABC так, чтобы точки D" и E" совпали соответственно с точками B и C, увидим, что сторона E"O" пойдет вне угла B (∠D" > ∠B) и точка O" не совпадет с точкою A (следует нарисовать расположение этих треугольников при рассматриваемом наложении). ∆O"D"E" опять не совместиться с ∆ABC.

Теперь не трудно ответить на вопрос: как надо изменить ∠D", чтобы добиться совпадения ∠O"D"E" с ∆ABC? Надо, ответим мы, уменьшить ∠D" так, чтобы он сделался равен ∠B.

Итак, если мы построим ∆O""D""E"" так, чтобы 1) D""E"" = BC, 2) ∠E"" = ∠C и 3) ∠D"" = ∠B, то мы можем быть убеждены, что ∆O""D""E"" = ∆ABC. Замечая, что равные стороны D""E"" и BC этих треугольников расположены между соответственно равными углами (на чертеже равные стороны и равные углы отмечены одинаковым знаками), мы можем установить еще признак равенства треугольников:

Если построены 2 треугольника так, что они имеют по два равных угла и по равной стороне между этими углами, то такие треугольники равны.

46. Построим какой-либо ∆ABC (чер. 54) и при концах стороны AB построим ∠BAD = ∠CAB и ∠ABD = ∠ABC. Тогда получим ∆ABD.

Равны ли треугольники ACB и ABD? Как можно добиться совмещения этих треугольников? Указать равные стороны в этих треугольниках (можно воспользоваться п. 39).

47. Имея в виду пп. 38, 43 и 45, мы можем теперь свести вместе признаки равенства треугольников:

1) Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого, то эти треугольники равны.

2) Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого, то эти треугольники равны.

3) Если два угла и сторона между ними одного треугольника равны соответственно двум углам и стороне между ними другого, то эти треугольники равны.

Прибавим сюда еще заключение п. 39: в равных треугольниках равные углы расположены против равных сторон и равные стороны против равных углов.

Для совмещения равных треугольников иногда бывает необходимо один из них перевернуть другою стороною.

48. Задача. Построить треугольник по двум данным сторонам и углу между ними.
Пусть даны 2 отрезка a и b и угол m (чер. 55). Требуется построить ∆ так, чтобы данные отрезки были его сторонами и угол, ими составленный, был = ∠m.

Строим: 1) при точке C угол, равный ∠m, 2) на сторонах построенного угла откладываем CB = a и CA = b, 3) соединяем точки A и B. Получим искомый ∆ABC.

49. Задача. Построить треугольник по данной стороне и двум прилегающим к ней углам.

Дан отрезок a и 2 угла m и n (чер. 56); требуется построить ∆ так, чтобы одна из его сторон = a и углы, к ней прилегающие, были равны ∠m и ∠n.

Строим: 1) отрезок BC = a, 2) при точке B угол = ∠m и при точке C угол = ∠n так, чтобы одна сторона каждого из этих углов шла по BC; точка пересечения A других сторон построенных углов даст вершину A искомого треугольника.

Может случиться, что стороны построенных углов или вовсе не пересекаются (параллельны между собою – это случится, если ∠m + ∠n = выпр. углу) или пересекутся по другой стороне от BC; в последнем случае получится треугольник, у которого к стороне a прилегают углы не m и не n, а дополняющие их до выпрямленного.

Мы знаем, что сумма всех трех внутренних углов треугольника равна выпрямленному углу, а сумма двух внутренних его углов должна быть, следовательно, меньше выпрямленного. Поэтому для возможности данной задачи необходимо, чтобы было: ∠m + ∠n < выпрямленного угла.

Упражнения

1. Построить равнобедренный треугольник по углу при его вершине и по боковой стороне.
2. Построить равнобедренный треугольник по основанию и по углу при основании.