Урок "сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями". Сложение и вычитание алгебраических дробей

В этой статье мы детально разберем сложение и вычитание алгебраических дробей . Начнем со сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. После этого запишем соответствующее правило для дробей с разными знаменателями. В заключение покажем, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как выполнить их вычитание. Всю информацию по традиции снабдим характерными примерами с разъяснением каждого шага процесса решения.

Навигация по странице.

Когда знаменатели одинаковые

Принципы переносятся и на алгебраические дроби. Нам известно, что при сложении и вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складываются или вычитаются их числители, а знаменатель остается прежним. Например, и .

Аналогично формулируется и правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями : чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители дробей, а знаменатель оставить без изменения.

Из этого правила следует, что в результате сложения или вычитания алгебраических дробей получается новая алгебраическая дробь (в частном случае многочлен, одночлен или число).

Приведем пример применения озвученного правила.

Пример.

Найдите сумму алгебраических дробей и .

Решение.

Нам нужно сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями. Правило нам указывает, что надо выполнить сложение числителей этих дробей, а знаменатель оставить прежним. Итак, складываем многочлены , находящиеся в числителях: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2·x·y−x·y)−5+3=x 2 +x·y−2 . Следовательно, сумма исходных дробей равна .

На практике обычно решение записывается кратко в виде цепочки равенств, отражающих все выполняемые действия. В нашем случае краткая запись решения такова:

Ответ:

.

Заметим, что если в результате сложения или вычитания алгебраических дробей получается сократимая дробь, то ее желательно сократить.

Пример.

Выполните вычитание из алгебраической дроби дроби .

Решение.

Так как знаменатели алгебраических дробей равны, то нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним: .

Несложно заметить, что можно выполнить сокращение алгебраической дроби . Для этого преобразуем ее знаменатель, применив формулу разности квадратов . Имеем .

Ответ:

.

Абсолютно аналогично складываются или вычитаются три и большее количество алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Например, .

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Напомним, как мы выполняем сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводим их к общему знаменателю, после чего складываем эти дроби с одинаковыми знаменателями. Например, или .

Существует аналогичное правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

• сначала все дроби приводятся к общему знаменателю;
• после чего выполняется сложение и вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Для успешного применения озвученного правила, нужно хорошо разобраться с приведением алгебраических дробей к общему знаменателю. Этим и займемся.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю представляет собой тождественное преобразование исходных дробей, после которого знаменатели всех дробей становятся одинаковыми. Удобно использовать следующий алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю :

• сначала находится общий знаменатель алгебраических дробей;
• дальше определяются дополнительные множители для каждой из дробей, для чего общий знаменатель делится на знаменатели исходных дробей;
• наконец, числители и знаменатели исходных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.

Пример.

Приведите алгебраические дроби и к общему знаменателю.

Решение.

Сначала определим общий знаменатель алгебраических дробей . Для этого раскладываем знаменатели всех дробей на множители: 2·a 3 −4·a 2 =2·a 2 ·(a−2) , 3·a 2 −6·a=3·a·(a−2) и 4·a 5 −16·a 3 =4·a 3 ·(a−2)·(a+2) . Отсюда находим общий знаменатель 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

Теперь приступаем к нахождению дополнительных множителей. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель первой дроби (удобно взять его разложение), имеем 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(2·a 2 ·(a−2))=6·a·(a+2) . Таким образом, дополнительный множитель для первой дроби равен 6·a·(a+2) . Аналогично находим дополнительные множители для второй и третьей дробей: 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(3·a·(a−2))=4·a 2 ·(a+2) и 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(4·a 3 ·(a−2)·(a+2))=3 .

Осталось умножить числители и знаменатели исходных дробей на соответствующие дополнительные множители:

На этом приведение исходных алгебраических дробей к общему знаменателю завершено. При необходимости полученные дроби можно преобразовать к виду алгебраических дробей, выполнив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

Итак, с приведением алгебраических дробей к общему знаменателю разобрались. Теперь мы подготовлены к выполнению сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Да, чуть не забыли предупредить: общий знаменатель до самого последнего момента удобно оставлять представленным в виде произведения – возможно придется сокращать дробь, которая получится после сложения или вычитания.

Пример.

Выполните сложение алгебраических дробей и .

Решение.

Очевидно, исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому, чтобы выполнить их сложение, сначала нужно привести их к общему знаменателю. Для этого раскладываем знаменатели на множители: x 2 +x=x·(x+1) , а x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , так как корнями квадратного трехчлена x 2 +3·x+2 являются числа −1 и −2 . Отсюда находим общий знаменатель, он имеет вид x·(x+1)·(x+2) . Тогда дополнительным множителем первой дроби будет x+2 , а второй дроби – x .

Итак, и .

Осталось сложить дроби, приведенные к общему знаменателю:

Полученную дробь можно сократить. Действительно, если в числителе вынести двойку за скобки, то станет виден общий множитель x+1 , на который дробь и сокращается: .

Наконец, полученную дробь представляем в виде алгебраической, для чего произведение в знаменателе заменяем многочленом: .

Оформим краткое решение, учитывающее все наши рассуждения:

Ответ:

.

И еще один момент: алгебраические дроби перед их сложением или вычитанием целесообразно предварительно преобразовать, чтобы упростить, (если, конечно, есть такая возможность).

Пример.

Выполните вычитание алгебраических дробей и .

Решение.

Выполним некоторые преобразования алгебраических дробей , возможно, они позволят упростить процесс решения. Для начала вынесем за скобки числовые коэффициенты у переменных в знаменателе: и . Уже интересно – стал виден общий множитель знаменателей дробей.

сформировать способность к выполнению действий (сложения и вычитания) с алгебраическими дробями с разными знаменателями, опираясь на правило сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями;

повторить и закрепить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Оборудование: Демонстрационный материал.

Задания для актуализации знаний:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо:

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
2. Сложить или вычесть полученные дроби.

2) Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

1. Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в общем (новом) знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.

3) Эталоны к самостоятельной работе с самопроверкой:

3) Карточка для этапа рефлексии.

1. Данная тема мне понятна.
2. Я знаю, как найти дополнительные множители к каждой из дробей.
3. Я умею находить новые числители для каждой из дробей.
4. В самостоятельной работе у меня всё получалось.
5. Я смог понять причину ошибки, которую допустил в самостоятельной работе.
6. Я доволен своей работой на уроке.

ХОД УРОКА

1. Самоопределение к деятельности.

Цели этапа:

1. Включение учащихся в учебную деятельность: продолжение путешествия по стране “Алгебраические выражения”.
2. Определение содержательных рамок урока: продолжение работать с алгебраическими дробями.

Организация учебного процесса на этапе 1:

Доброе утро, ребята! Мы продолжаем наше увлекательное путешествие по стране “Алгебраические выражения”.

С какими “обитателями” страны мы встречались на предыдущих уроках? (С алгебраическими выражениями.)

Что мы можем выполнять со знакомыми нам алгебраическими выражениями? (Сложение и вычитание.)

Какая характерная особенность алгебраических дробей, которые мы уже умеем складывать и вычитать? (Мы складываем и вычитаем дроби, имеющие одинаковые знаменатели.)

Верно. Но мы все вместе хорошо понимаем, что навыков выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, недостаточно. Как вы считаете, что ещё необходимо нам научиться делать? (Выполнять действия с дробями, имеющими разные знаменатели.)

Молодцы! Тогда продолжим наше путешествие? (Да!)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

Цели этапа:

1. Актуализировать знания о выполнении действий с дробями с одинаковыми знаменателями, приёмы устных вычислений.
2. Зафиксировать затруднение.

Организация учебного процесса на этапе 2:

На доске записано несколько примеров на выполнение действий с дробями:

5) -=-==.

Учащимся предлагается в громкой речи озвучить свои варианты решения.

В первом примере ребята без труда выдают правильный ответ, вспоминая алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Когда уже прозвучал комментарий к примеру № 2, учитель акцентирует внимание на примере № 2:

Ребята, посмотрите, что у нас интересного в примере № 2? (Мы не только выполняли действия с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, но и выполняли сокращение получившейся алгебраической дроби: вынесли знак “минус” за скобки, в числителе и знаменателе получили одинаковые множители, на которые впоследствии мы и сократили результат.)

Очень хорошо, что вы не забыли, что основное свойство дроби применимо не только к обыкновенным, но и алгебраическим дробям!

Кто же прокомментирует для всех решение следующих трёх примеров?

Скорее всего, найдётся ученик, который без труда решит пример № 3.

Чем же ты воспользовался при решении примера № 3? (Мне помог алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.)

Как именно ты действовал? (Я привёл алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю 15, а затем сложил их.)

Замечательно! А как у нас обстоят дела с двумя последними примерами?

Когда дело доходит до следующих двух примеров, ребята (каждый для себя) фиксируют возникшее затруднение.

Слова учеников приблизительно такие:

Я затрудняюсь выполнить примеры 4–5, так как передо мной алгебраические дроби, не с “одинаковыми” знаменателями, и в состав этих разных знаменателей входят переменные (№ 4), а в № 5 вообще в знаменателях стоят буквенные выражения!..”

Ответ на задания 4–5 не получены.

3. Выявление места и причин затруднений и постановка цели деятельности.

Цели этапа:

1. Зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности.
2. Сформулировать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

Ребята? Где же возникло затруднение? (В примерах 4–5.)

Почему же при их решении вы не готовы обсудить решение и дать ответ? (Потому что алгебраические дроби, предложенные в этих заданиях, имеют разные знаменатели, а нам знаком алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Что же нам ещё надо уметь делать? (Надо научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

Я согласна с вами. Как можно сформулировать тему нашего сегодняшнего урока? (Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.)

Тема урока записывается в тетрадях.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:

1. Построение детьми нового способа действий.
2. Фиксация алгоритма приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Какую же цель мы сегодня поставим перед собой на уроке? (Научиться складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями.)

Как же быть? (Для этого мы должны построить алгоритм дальнейшей работы с алгебраическими дробями.)

Что нам необходимо придумать для достижения цели урока? (Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю, чтобы потом работать по привычному нам правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.)

Работа может быть организованы в группах, каждой группе даётся лист бумаги и маркер. Учащиеся могут предложить свои варианты алгоритма в виде перечисления шагов. На работу отводится 5 минут. Группы вывешивают свои варианты алгоритма или правила, и дальше проводится анализ каждого варианта.

Скорее всего, кто-то из учащихся обязательно проведёт аналогию своего алгоритма с алгоритмом сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают и вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Впоследствии этого выводится единый вариант. Он может быть таким:

1. Раскладываем все знаменатели на множители.
2. Из первого знаменателя выписываем произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
3. Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
4. Найдём для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
5. Запишем каждую дробь с новым числителем и общим (новым) знаменателем.

Ну что же, применим наше правило для выполнения нерешённых предложенных заданий. Каждое задание (4, 5) проговаривают поочерёдно некоторые учащиеся класса, учитель фиксирует решение на доске.

Мы с вами просто гении! Нами построен алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Совместными усилиями нами ликвидировано затруднение, так как перед нами теперь настоящий “путеводитель” (алгоритм) по неизведанной для нас стране “Алгебраические дроби”!

5. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель этапа:

1. Тренировать способность к приведению алгебраических дробей к общему знаменателю.
2. Организовать проговаривание изученного содержания правила-алгоритма во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Ребята, но все мы хорошо знаем, что просто смотреть и знать “карту местности” - это ещё не путешествие. Что мы должны сделать, чтобы глубже и больше проникнуть в мир алгебраических дробей? (Мы должны решать примеры, и вообще тренироваться в решении примеров, для того, чтобы закрепить наш новый алгоритм.)

Совершенно верно. Поэтому я предлагаю начать наше исследование.

Ученик устно проговаривает план своего решения, учитель корректирует, если допущены некоторые неточности.

Приблизительно это звучит так:

Мы должны подобрать число, которое разделится одновременно на 2 и на 5. Это число 10. Затем подбираем переменные в нужной нам степени. Итак, нашим новым знаменателем будет 10xy. Подбираем дополнительные множители. К первой дроби: 5y, ко второй: 2x. Умножаем подобранные дополнительные множители на каждый старый числитель. Получаем алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, выполняем вычитание по уже привычному для нас правилу.

Я довольна. А теперь наша большая команда разделиться на пары, и мы продолжим наш интересный путь.

№133 (а, г). Учащиеся работают в парах, проговаривая решение друг другу:

а) +=+==;

г) +=+==.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой.

Цели этапа:

1. Провести самостоятельную работу.
2. Провести самопроверку по готовому эталону для самопроверки.
3. Учащиеся зафиксируют затруднения, определяют причины ошибок и исправляют ошибки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Я внимательно наблюдала за вашей работой и пришла к выводу, что каждый из вас уже готов самостоятельно обдумывать способы и находить решения примеров по нашей сегодняшней теме. Поэтому я предлагаю вам небольшую самостоятельную работу, после завершения которой вам будет предложен эталон с правильным решением и ответом.

№134 (а, б): выполняют работу по вариантам.

После выполнения работы проводится проверка по эталону. Проверяя решения, учащиеся отмечают “+” правильное решение, “?” не верное решение. Желательно, чтобы ученики, допустившие ошибки, объяснили причину, по которой они неправильно выполнили задание.

Проводится анализ и исправление ошибок.

Итак, какие сложности встретились на вашем пути? (Я допустил ошибку при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак “минус”.)

Какая причина этому? (Просто из-за невнимательности, но в будущем буду осторожнее!)

Что ещё показалось нелёгким? (Мне было непросто подобрать дополнительные множители к дробям?)

Тебе обязательно надо изучить подробнее 3 пункт алгоритма, чтобы не возникала такая проблема в дальнейшем!

Были ещё затруднения? (А я просто не привёл подобные слагаемые).

И это поправимо. Когда вы проделаете всё, что возможно по новому алгоритму, необходимо вспомнить и давно изученный материал. В частности, приведение подобных слагаемых, или сокращение дробей и т.п.

7. Включение новых знаний в систему знаний.

Цель этапа: повторить и закрепить изученный на уроке алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.

8. Рефлексия урока.

Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 8:

Какую цель мы поставили в начале урока? (Научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

Что мы придумали для достижения цели? (Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.)

Что мы ещё использовали при этом? (Мы раскладывали на множители знаменатели, подбирали НОК для коэффициентов, и дополнительные множители для числителей.)

А теперь возьмите какую-нибудь цветную ручку или фломастер и отметьте знаком “+” те высказывания, с истинностью которых вы согласны:

У каждого ученика карточка с фразами. Дети отмечают и показывают учителю.

Молодцы!

Домашнее задание: параграф 4 (учебник); № 126, 127 (задачник).

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множи-
телей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из § 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей.

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

Пример 1. Выполнить действия:

Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из § 2. Опираясь на указанный пример, получаем:

Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.

Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.
Для дробей общий знаменатель есть число 15 оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).
Для дробей — общим знаменателем является одночлен 12b 3 . Он делится и на 4b 2 и на 6b 3 , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей.

Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная b входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель
второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей

общим знаменателем служит произведение (х + у)(х - у) — оно делится и на знаменатель х + у и на знаменатель х-у.

При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.

Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1.
Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей общим
знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен 15а2Ь. Дело в том, что и 30, и 60, и 15а 2 b можно разделить как на 3, так и на 5. Для
дробей —
общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12b , может быть и 24b 3 и 48а 2 b 4 . Чем же одночлен 12b 3 лучше, чем 24b 3 , чем 48а 2 b 4 ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм
отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным мно-
жителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3).

Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Обычно используют следующую запись:

Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей является одночлен 12b 3 . Дополнительный множитель для первой дроби равен Зb (поскольку 12b 3: 4b 2 = З Ь), для второй дроби он равен 2 (поскольку 12b 3: 6b 3 = 2). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.

Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Пример 2. Упростить выражение

Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.

Имеем
4а 2 - 1 = (2а - 1) (2а + 1),
2а 2 + а = а(2а + 1).
Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добавляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель

a(2a - 1) (2a +1).

Удобно расположить записи в виде таблицы:

Второй этап.
Выполним преобразования:

При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом.

В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих).

Пример 3 . Упростить выражение

Решение.
Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:

1) 2а 4 + 4а 3 b + 2a 2 b 2 = 2а 2 (а 2 + 2аb + b 2) = 2а 2 (а + b) 2 ;

2) 3ab 2 - За 3 = За (b 2 - а 2) = За (b - а) (b + а);

3) 6а 4 -6а 3 b = 6а 3 (а- b).

Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители 3 и b - а (или a — b), из третьего — недостающий множитель а (поскольку третий знаменатель содержит множитель а 3).

Алгебраические дроби

Заметим, что если у дополнительного множителя появляется знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед второй дробью придется поменять знак.

Второй этап.
Выполним преобразования:

Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих
случаях знаменатели обращаются в нуль).

Обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Нельзя складывать дроби без преобразований

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а », значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные .

Вычитание алгебраических дробей

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
2. знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с », значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d) » числитель второй дроби «(a − b) ». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок .

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю .

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a » и «3 » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15 » и «3 » — это «15 ».
2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a » и «5 » есть только
   один одночлен — «а ».
3. Перемножим НОК из п.1 «15 » и одночлен «а » из п.2. У нас получится «15a ». Это и будет общим знаменателем.
4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a »?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a », значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3 », чтобы получить «15a »?» Ответ — на «5a ».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a » и числитель, и знаменатель .

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики» .

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим знаменатели «(x − y) » и «(x + y) » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y) » и «(x + y) ». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y) » — общий знаменатель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения .

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p 2 − 36) ». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов .

После разложения многочлена «(p 2 − 36) » на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6) » видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6) ». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6) ».

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

1. Привести все дроби к общему знаменателю; если они с самого начала имели одинаковые знаменатели, то этот шаг алгоритма опускают.
2. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 1. Выполнить действия:

а) ; б) ; в) .

Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в уроке "Основное свойство алгебраической дроби". Опираясь на указанный пример, получаем:

Самое трудное в приведенном алгоритме - это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.
Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.

Для дробей и общим знаменатель есть число 15 - оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).

Для дробей и общим знаменателем является одночлен . Он делится и на и на , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей. Обратите внимание: число 12 - наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель второй дроби - с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей и общим знаменателем служит произведение - оно делится и на знаменатель и на знаменатель.
При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.
Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

Разложить все знаменатели на множители (числовые коэффициенты, степени переменных, двучлены, трехчлены).

Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в разложениях на множители, составленных на первом шаге.

Составить произведение, включив в него в качестве множителей все буквенные множители разложений, полученных на первом шаге алгоритма. Если некоторый множитель (степень переменной, двучлен, трехчлен) имеется в нескольких разложениях, то его следует взять с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся.

Приписать к произведению, полученному на третьем шаге, числовой коэффициент, найденный на втором шаге; в итоге получится общий знаменатель.

Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей и общим знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен . Дело в том, что и 30, и 60, и можно разделить как на 3, так и на 5. Для дробей и общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена , может быть и и . Чем же одночлен лучше, чем , чем ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм - это алгоритм отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби и , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным множителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби - число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3). Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Обычно используют следующую запись:

Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей и является одночлен . Дополнительный множитель для первой дроби равен (поскольку ), для второй дроби он равен 2 (поскольку ). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

.

Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.

Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Разложить все знаменатели на множители.

Из первого знаменателя выписать произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.

Найти дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.

Найти для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.

Записать каждую дробь с новым числителем и новым (общим) знаменателем.

Пример 2. Упростить выражение .

Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.
Имеем

Первый знаменатель берем целиком, а из второго - добавляем множитель , которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель .

Удобно расположить записи в виде таблицы:

Знаменатели	Общий знаменатель	Дополнительные множители

Второй этап.
Выполним преобразования:

При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом.
В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих).

Пример 3. Упростить выражение

Решение. Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:

Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители и (или ), из третьего - недостающий множитель (поскольку третий знаменатель содержит множитель ).

Знаменатели	Общий знаменатель	Дополнительные множители