Решение линейных уравнений с одной переменной. Способы решения уравнений
Линейные уравнения. Решение, примеры.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Линейные уравнения.
Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)
Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:
ax + b = 0 где а и b – любые числа.
2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7
0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3
12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2
Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:
Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:
Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.
Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)
Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:
Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение
нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.
Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)
Решение линейных уравнений. Примеры.
Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.
Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.
х - 3 = 2 - 4х
Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.
Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:
х + 4х = 2 + 3
Приводим подобные, считаем:
Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:
Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.
Например, вот это уравнение:
С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.
Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?
95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:
Раскрываем скобки:
Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:
Раскрываем оставшиеся скобки:
Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:
Приводим подобные:
И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:
Вот и всё. Ответ: х =0,16
Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)
Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.
Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.
Особые случаи при решении линейных уравнений.
Сюрприз первый.
Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:
2х+3=5х+5 - 3х - 2
Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:
2х-5х+3х=5-2-3
Считаем, и... опаньки!!! Получаем:
Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?
Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.
Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)
Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.
Вот вам и ответ: х - любое число.
Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.
Сюрприз второй.
Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:
2х+1=5х+5 - 3х - 2
После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:
Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)
Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)
Вот вам и ответ: решений нет.
Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.
Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)
Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Уравнение, представляющее собой квадратный трехчлен, обыкновенно называется квадратным уравнением. С точки зрения алгебры оно описывается формулой a*x^2+b*x+c=0. В данной формуле х - это неизвестное, которое требуется найти (его называют свободной переменной); a, b и c - числовые коэффициенты. В отношении компонентов указанной существует ряд ограничений: так, коэффициент а не должен быть равен 0.
Решение уравнения: понятие дискриминанта
Значение неизвестного х, при котором квадратное уравнение превратится в верное равенство, называют корнем такого уравнения. Для того чтобы решить квадратное уравнение, необходимо сначала найти значение специального коэффициента - дискриминанта, который покажет количество корней у рассматриваемого равенства. Дискриминант вычисляется по формуле D=b^2-4ac. При этом результат вычисления может оказаться положительным, отрицательным или равным нулю.При этом следует иметь в виду, что понятие требует, чтобы лишь коэффициент а был строго отличающимся от 0. Следовательно, коэффициент b может быть равным 0, а само уравнение в этом случае вид a*x^2+c=0. В такой ситуации следует использовать значение коэффициента, равное 0, и в формулах расчета дискриминанта и корней. Так, дискриминант в этом случае будет рассчитываться как D=-4ac.
Решение уравнения при положительном дискриминанте
В случае, если дискриминант квадратного уравнения оказался положительным, из этого можно сделать вывод, что данное равенство имеет два корня. Указанные корни можно вычислить по следующей формуле: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Таким образом, для расчета значения корней квадратного уравнения при положительном значении дискриминанта используются известные значения коэффициентов, имеющихся в . Благодаря использованию суммы и разности в формуле расчета корней результатом вычислений будут два значения, обращающие рассматриваемое равенство в верное.Решение уравнения при нулевом и отрицательном дискриминанте
В случае, если дискриминант квадратного уравнения оказался равным 0, можно сделать вывод о том, что указанное уравнение имеет один корень. Строго говоря, в этой ситуации корней у уравнения по-прежнему два, однако вследствие нулевого дискриминанта они будут равны между собой. В этом случае x=-b/2a. Если же в процессе вычислений значение дискриминанта оказывается отрицательным, следует сделать вывод о том, что рассматриваемое квадратное уравнение не имеет корней, то есть таких значений x, при которых оно обращается в верное равенство.Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
«Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»
С. Коваль
Математическое образование, получаемое в школе, очень важная часть жизни современного человека. Практически всё, что окружает нас так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений различных видов.
Уравнения - это наиболее объёмная тема всего курса алгебры. В прошлом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии.
В школьном курсе математики изучается основные способы решения квадратных уравнений. Однако, имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, некоторые из которых позволяют быстро, рационально решать их.
Нами было проведено анкетирование среди 84 учащихся 8-9 классов по двум вопросам:
Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?
Какие вы используете чаще всего?
По результатам анкетирование были получены следующие результаты:
Проанализировав полученные результаты, мы пришли к выводу, что большинство учащихся используют при решении квадратных уравнений формулы корней с использование дискриминанта и недостаточно осведомлены о способах решения квадратных уравнений.
Таким образом, выбранная нами тема является актуальной.
Мы поставили перед собой цель : изучить нетрадиционные способы решения квадратных уравнений, познакомить учащихся 8 и 9 классов с различными способами решения, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения.
Для достижения указанной цели нужно решить следующие задачи:
собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений,
освоить найденные способы решения,
составить программу для решения квадратных уравнений по формулам корней квадратного уравнения в Excel,
разработать дидактический материал для проведения урока или внеурочного мероприятия по нестандартным методам решения квадратных уравнений,
провести занятие «Необычные способы решения квадратных уравнений» с учащимися 8 - 9 классов.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: различных способы решения квадратных уравнений.
Считаем, что практическая значимость работы состоит в возможности использования банка приёмов и способов решения квадратных уравнений на уроках математики и внеурочной деятельности, а также в ознакомлении учащихся 8 - 9 классов с данных материалом.
ГЛАВА 1. НЕОБЫЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
- СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)
Метод основан на свойствах коэффициентов a,b,c:
Если a+b+c=0, то = 1, =
Пример:
-6х 2 + 2х +4=0, то = 1, = = .
Если a - b+c=0, то = -1, = -
Пример:
2017х 2 + 2001х +16 =0, то = -1, -.
- ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)
Справедливы следующие зависимости коэффициентов a,b,c:
Если b=a 2 +1, c=a, то х 1 =-а; x 2 = - .
Если b=-(a 2 +1), a=c, то x 1 =a; x 2 =.
Если b=a 2 -1, c=-a, то x 1 =-a; x 2 = .
Если b=-(a 2 -1), -a=c, то x 1 =a; x 2 = - .
Решим следующие уравнения:
5x 2 + 26x + 5 = 0
x 1 = -5
x 2 = - 0,2.
13x 2 - 167x + 13 = 0
x 1 =13 x 2 =
14x 2 + 195x - 14 = 0
x 1 = - 14 x 2 =
10x 2 - 99x - 10 = 0
x 1 =10 x 2 =-0,1.
- «ПЕРЕБРОС» ГЛАВНОГО КОЭФФИЦИЕНТА
Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Далее корни находятся по теореме Виета. Найденные корни делятся на ранее переброшенный коэффициент, благодаря этому мы находим корни уравнения.
Пример:
2х 2 - 3х + 1 = 0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у 2 - 3у + 2 = 0.
Согласно теореме Виета
у 1 = 2 , х 1 = 2/2 , x 1 = 1,
у 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.
Ответ: 0,5; 1.
- ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
Если в уравнении аx 2 + bx + c = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим ax 2 = -bx -c .
Построим графики зависимостей у = aх 2 и у = -bx -c в одной системе координат.
График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая.
Возможны следующие случаи:
прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Решим следующие уравнения:
1) х 2 + 2х - 3 = 0
х 2 = - 2х + 3
В одной системе координат построим график функции у =х 2 и график функции у = - 2х+3. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ.
Ответ: х 1 = - 3, х 2 =1.
2) х 2 + 6х +9 = 0
х 2 = - 6х - 9
В одной системе координат построим график функции у = х 2 и график функции у = -6х - 9. Обозначив абсциссу точки касания, получим ответ.
Ответ: х= - 3.
3) 2х 2 + 4х +7=0
2х 2 = - 4х - 7
В одной системе координат построим график функции у =2х 2 и график функции
Парабола у =2х 2 и прямая у = - 4х - 7 не имеют общих точек, следовательно уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
- РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
Решим уравнение aх 2 +bх+c=0:
Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1).
Провести окружность радиуса SA.
Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.
При этом возможны три случая:
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK , или R> ), окружность пересекает ось Ох в двух точках..B(х 1 ; 0) и D(х 2 ;0), где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ , или R = ), окружность касается оси Ох в точке B(х 1 ; 0), где х 1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ , или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.
а) AS > SВ или R > , б) AS = SВ или R = в) AS < SВ, или R < .
Два решения х 1 и х 2 . Одно решение х 1.. Не имеет решения.
Пример 1: 2х 2 - 8х + 6 = 0.
Решение:
Проведём окружность радиуса SA, где А (0;1).
Ответ: х 1 = 1 , х 2 = 3.
Пример 2: х 2 - 6х + 9 = 0.
Решение : Найдём координаты S: x=3, y=5.
Ответ: x=3.
Пример 3: х 2 + 4 х + 5 = 0.
Решение: Координаты центра окружности: х= - 2 и y = 3.
Ответ: нет корней
- РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММЫ
Номограмма (от греческого «nomos» - закон и грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.
Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещённый на стр. 83 сборника: Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы». - М., “ДРОФА”, 2000. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 (см. Приложение 1).
Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = , АВ =
Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Пример 1 : z 2 - 9z + 8 = 0 .
На шкале p находим отметку -9, а на шкале q отметку 8. Проводим через эти метки прямую, которая пересекает кривую шкалу номограммы в отметках 1 и 8. Следовательно, корни уравнения 1 и 8.
Ответ: 1; 8.
Именно данное уравнение решено в таблице Брадиса стр. 83 (см. Приложение 1).
Пример 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:
z 2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма даёт корни z 1 = 4 иz 2 = 0,5.
Ответ: 4; 0,5.
Пример 3: x 2 - 25x + 66 = 0
Коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы. Выполним подстановку x = 5z , получим уравнение:
z 2 - 5z + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы.
Получим z 1 = 0,6 и z 2 = 4,4,
откудаx 1 = 5 z 1 = 3,0 иx 2 = 5 z 2 = 22,0.
Ответ: 3; 22.
Пример 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.
Ответ: 1; -6.
Пример 5: z 2 - 2z - 8 = 0, номограмма даёт положительный корень z 1 =4, а отрицательный равен z 2 = - p -4 =
= 2 - 4= -2.
Ответ: 4; -2.
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL
Мы решили составить программу для решения квадратного уравнения с помощью Excel - это широко распространенная компьютерная программа. Нужна она для проведения расчётов, составления таблиц и диаграмм, вычисления простых и сложных функций. Она входит в состав пакета Microsoft Office.
Лист программы Excel, где отображены формулы:
Лист программы Excel, где показан конкретный пример решения квадратного уравнения x 2 - 14x - 15 = 0 :
ГЛАВА 3. СРАВНЕНИЕ РАЗНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
|
Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D и D1 |
Универсальность, т.к. можно использовать для решения абсолютно всех квадратных уравнений |
Громоздкий дискриминант, не входящий в таблицу квадратов |
|
Теорема Виета |
Быстрота решения в определённых случаях и экономия времени |
Если дискриминант не является полным квадратом целого числа. Не целые коэффициенты b и с. |
|
Выделение полного квадрата |
При правильном преобразовании в квадрат двучлена получаем квадратное уравнение неполного вида и следовательно быстрее находятся корни |
Сложность выделения полного квадрата при дробных коэффициентах уравнения |
|
Способ группировки |
Можно решить, не зная формул |
Не всегда среднее слагаемое удаётся разложить на подходящие слагаемые для группировки |
|
Графический способ |
Не требуется формул. Можно быстро узнать количество корней уравнения |
Приближённость решения |
|
Свойства коэффициентов a,b,c |
Быстрота решения. Для уравнений с большими коэффициентами |
Подходит только для некоторых уравнений |
|
«Переброс» главного коэффициента |
Быстрота решения, если корни целые |
Такие же как с помощью теоремы Виета |
|
Номограмма |
Наглядность Все, что требуется для решения-это номограмма |
Не всегда имеется с собой номограмма. Неточность решения |
|
Нахождение корней с помощью циркуля и линейки |
Наглядность |
Если координаты центра нецелые числа. Нахождении корней уравнений с большими коэффициентами |
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»
Уолтер Варвик Сойер
В ходе работы мы собрали материал и изучили способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений. Решение уравнений разными способами представлено в Приложении 2.
Изучая разные способы решения квадратных уравнений, мы сделали вывод, что для каждого уравнения можно подобрать свой наиболее эффективный и рациональный вариант нахождения корней. Каждый из способов решения уникален и удобен в определённых случаях. Некоторые способы решения позволяют сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ, другие - помогают решить уравнение с очень большими коэффициентами. Мы постарались сравнить разные способы решения, составив таблицу, в которой отразили плюсы и минусы каждого из способов.
Нами разработан раздаточный материал. Познакомиться с банком заданий по теме можно в Приложении 3.
Используя Microsoft Excel, мы составили электронную таблицу, которая позволяет автоматически рассчитывать корни квадратного уравнения по формулам корней.
Мы провели урок, посвященный необычным способам решения квадратных уравнений, для учащихся 9 классов. Ученикам очень понравились способы, они отметили, что полученные знания пригодятся им в дальнейшем обучении. Результатом проведённого урока стали работы учащихся, в которых они представили различные варианты решения квадратных уравнений (см. Приложение 4).
Материалом работы могут воспользоваться и те, кто любит математику и те, кто хочет знать о математике больше.
ЛИТЕРАТУРА
Брадис В. М. «Четырехзначные математические таблицы для средней школы», М.: Дрофа, 2000.
Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.
Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре», М.: Просвещение 2002.
Глейзер Г. И. «История математики в школе», М.: Просвещение, 1982.
Звавич Л.И. «Алгебра 8 класс», М.: Мнемозина, 2002.
Макарычев Ю.Н. “Алгебра 8 класс”, М.: Просвещение, 2015.
Плужников И. «10 способов решения квадратных уравнений» // Математика в школе. - 2000.- № 40.
Пресман А.А. «Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки»//М., Квант, №4/72, c.34.
Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»,
М.: Педагогика, 1989.
Интернет ресурсы:
http://revolution.allbest.ru/
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
«СБОРНИК БРАДИСА В.М.»
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВСЕМИ СПОСОБАМИ»
Исходноеуравнение: 4х 2 +3х -1 = 0.
1.Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D
4х 2 +3х -1 = 0
D = b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => уравнение имеет два корня
x 1,2 =
x 1 ==
x 2 ==-1
2.Теорема Виета
4х 2 +3х -1 = 0, поделим уравнение на 4, чтобы оно стало приведённым
х 2 +х -=0
х 1 = -1
х 2 =
3. Метод выделения полного квадрата
4х 2 +3х -1 = 0
(4х 2 +2*2х *+)-1=0
(2х +) 2 -=0
(2х + -)(2х + +)=0,
(2х -)=0 (2х +2)=0
х 1 = х 2 = -1
4. Способ группировки
4х 2 +3х -1 = 0
4х 2 +4х-1х-1=0
4х(х+1)-1(х+1)=0
(4х-1)(х+1)=0, произведение =0, когда один из множителей=0
(4х-1)=0 (х+1)=0
х 1 = х 2 = -1
5. Свойства коэффициентов
4х 2 +3х -1 = 0
Если a - b+c=0, то = -1, = -
4-3-1=0, => = -1, =
6. Метод «переброски» главного коэффициента
4х 2 +3х -1 = 0
y 2 +3y - 4 = 0
Теорема Виета:
y 1 = -4
y 2 = 1
Разделим найденные корни на главный коэффициент и получим корни нашего уравнения:
х 1 = -1
х 2 =
7. Способ решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
4х 2 +3х -1 = 0
Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х 1 = -1
х 2 =
8. Графический способ решения
4х 2 +3х -1 = 0
4х 2 = - 3x + 1
В одной системе координат построим график функции у = 4х 2 и график функции
у = - 3х+1. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ:
х 1 = -1
9. С помощью номограммы
4х 2 +3х -1 = 0, разделим коэффициенты уравнения 1/на 4, получим уравнение
х 2 +х -= 0.
Номограмма даёт положительный корень = ,
а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е.
x 2 = - p -=- -= -1.
10. Решение данного уравнения в EXCEL
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
«ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ТЕМЫ
“РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ” »
10х 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7
-10х 2 + 7х + 3 = 0 -1 0,3
354х 2 -52х -302 = 0 1 -
100х 2 -99х-1 = 0 1 -0,01
5х 2 + 9х + 4 = 0 -1 -0,8
2017х 2 + х -2016 = 0 -1
22х 2 +10х-12 = 0 -1
5432х 2 -3087х-2345 = 0 1 -
4х 2 + 2х -6с = 0 1 -1,5
55х 2 -44х -11= 0 1 -0,2
6х 2 - 7х - 3 = 0 - , 1,5
4х 2 -17х-15 = 0 -0,75, 5
4271х 2 -4272х + 1 = 0 1,
3х 2 +10х + 7 = 0 -1, - 2
5х 2 - 11х + 2 = 0 2, 0,2
2х 2 - 11х + 15 = 0 2,5, 3
4х 2 + 4х -3= 0 -1,5, 0,5
5х 2 -12х + 7 = 0 1,4, 1
2х 2 + 13х + 15 = 0 -1,5 -5
3х 2 -7х + 2 = 0 1/3 2
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
«РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ»
Математические уравнения не только полезны - они также могут быть и красивы. И многие ученые признают, что они часто любят определенные формулы не только за их функциональность, но еще и за их форму, некую особую поэтичность. Есть те уравнения, которые известны на весь мир, как, например, E = mc^2. Другие не столь широко распространены, но красота уравнения не зависит от его популярности.
Общая теория относительности
Уравнение, описанное выше, было сформулировано Альбертом Эйнштейном в 1915 году как часть инновационной общей теории относительности. Теория на самом деле произвела революцию в мире науки. Это удивительно, как одним уравнением можно описать абсолютно все, что есть вокруг, в том числе пространство и время. Весь истинный гений Эйнштейна воплощен в нем. Это очень элегантное уравнение, которое кратко описывает, как все вокруг вас связано - например, как присутствие Солнца в галактике искривляет пространство и время так, чтобы Земля вращалась вокруг него.
Стандартная модель
Стандартная модель - это еще одна из важнейших теорий физики, в ней описываются все элементарные частицы, из которых состоит вселенная. Существуют различные уравнения, способные описать эту теорию, однако чаще всего пользуются уравнением Лагранжа, французского математика и астронома 18 века. Он успешно описал абсолютно все частицы и силы, которые на них воздействуют, за исключением гравитации. Это также включает недавно открытый бозон Хиггса. Оно в полной мере сочетается с квантовой механикой и общей теорией относительности.
Математический анализ
В то время как первые два уравнения описывают конкретные аспекты вселенной, данное уравнение может быть использовано во всех возможных ситуациях. Фундаментальная теорема математического анализа формирует основу математического метода, известного как исчисление, и связывает две свои основные идеи - концепцию интеграла и понятие производной. Зародился математический анализ еще в древности, однако все теории были собраны воедино Исааком Ньютоном в 17 веке - он использовал их для вычисления и описания движения планет вокруг Солнца.
Теорема Пифагора
Старым добрым известным всем уравнением выражается знаменитая теорема Пифагора, которую учат все школьники на уроках геометрии. Это формула описывает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы, самой длинной из всех сторон (c), равен сумме квадратов двух других сторон, катетов (a и b). В итоге, уравнение выглядит следующим образом: a^2 + b^2 = c^2. Эта теорема удивляет многих начинающих математиков и физиков, когда они только учатся в школе и еще не знают, что им готовит новый мир.
1 = 0.999999999….
Это простое уравнение указывает на то, что число 0.999 с бесконечным количеством девяток после запятой, на самом деле, равно единице. Это уравнение замечательно тем, что оно крайне простое, невероятно наглядное, но все же умудряется удивить и поразить многих. Некоторые люди не могут поверить в то, что это на самом деле так. Более того, красиво и само по себе уравнение - левая его часть представляет собой простейшую основу математики, а правая скрывает в себе тайны и загадки бесконечности.
Специальная теория относительности
Альберт Эйнштейн снова попадает в список, на этот раз со своей специальной теорией относительности, которая описывает, как время и пространство являются не абсолютными понятиями, а относительными - к скорости смотрящего. Это уравнение показывает, как время «расширяется», тем сильнее замедляясь, чем быстрее человек движется. На самом деле, уравнение не является таким уж сложным, простые производные, линейная алгебра. Однако то, что оно собой воплощает, представляет абсолютно новый способ смотреть на мир.
Уравнение Эйлера
Эта простая формула включает в себя основные знания о природе сфер. Она говорит о том, что если вы разрезаете сферу и получаете грани, ребра и вершины, то если F принять за число граней, E - за число ребер, а V - за число вершин, то вы всегда получите одно и то же: V - E + F = 2. Именно так и выглядит данное уравнение. Поражает то, что какую бы сферическую форму вы ни взяли - будь-то тетраэдр, пирамида или любая другая комбинация граней, ребер и вершин, у вас всегда получится одинаковый результат. Эта комбинаторика рассказывает людям нечто фундаментальное о сферических формах.
Уравнение Эйлера-Лагранжа и теорема Нетер
Эти понятия являются довольно абстрактными, но очень сильными. Самое интересное заключается в том, что данный новый способ мышления о физике смог пережить несколько революций в данной науке, таких как открытие квантовой механики, теории относительности и так далее. Здесь L означает уравнение Лагранжа, которое является мерой энергии в физической системе. А решение этого уравнения расскажет вам о том, как конкретная система будет развиваться с течением времени. Вариантом уравнения Лагранжа является теорема Нетер, которая является фундаментальной для физики и роли симметрии. Суть теоремы заключается в том, что если ваша система симметрична, то в ней действует соответствующий закон сохранения. Собственно говоря, главная идея этой теоремы заключается в том, что законы физики действуют повсеместно.
Уравнение ренормгруппы
Это уравнение также называется по имени его создателей, уравнением Каллана-Симанчика. Оно является жизненно важным базовым уравнением, написанным в 1970 году. Оно служит для того, чтобы продемонстрировать, как наивные ожидания рушатся в квантовом мире. Уравнение также имеет множество приложений, позволяющих оценить массу и размер протона и нейтрона, которые составляют ядро атома.
Уравнение минимальной поверхности
Данное уравнение невероятным образом вычисляет и кодирует те самые красивые мыльные пленки, которые образуются на проволоке, когда ее окунают в мыльную воду. Данное уравнение, однако, сильно отличается от привычных линейных уравнений из той же области, например, уравнения тепла, образования волн и так далее. Это уравнение - нелинейно, оно включает в себя воздействие сторонних сил и производных продуктов.
Прямая Эйлера
Возьмите любой треугольник, нарисуйте наименьший круг, который может включить в себя треугольник, и отыщите его центр. Найдите центр массы треугольника - ту точку, которая позволила бы треугольнику балансировать, например, на острие карандаша, если бы его можно было вырезать из бумаги. Нарисуйте три высоты этого треугольника (линии, которые были бы перпендикулярны тем сторонам треугольника, от которых они рисуются) и найдите точку их пересечения. Суть теоремы заключается в том, что все три точки будут находиться на одной прямой, именно это и есть прямая Эйлера. Теорема заключает в себе всю красоту и мощь математики, открывая удивительные закономерности в самых простых вещах.